Fish eating fruit 沈阳网络赛（树形dp）

Posted 2022-11-06 jiaaaaaaaqi

Fish eating fruit

\[ Time Limit: 1000 ms \quad Memory Limit: 262144 kB \]

题意

大体的题意就是给出一棵树，求每一对点之间的距离，然后把该距离存在距离 \(\mod 3\) 的位置，输出总和。

思路

令两个 \(dp\) 数组和两个辅助 \(dp\) 的数组。
\(dp1[i][j]\) 表示从 \(i\) 为起点往下到各个点距离 \(\mod 3\) 后为 \(j\) 的距离总和。
\(cnt1[i][j]\) 表示以 \(i\) 为起点往下到各个点距离 \(\mod 3\) 后为 \(j\) 的节点个数。
\(dp2[i][j]\) 表示从 \(i\) 起点往上一步后到各个点距离 \(\mod 3\) 后为 \(j\) 的距离总和。
\(cnt2[i][j]\) 表示以 \(i\) 为起点往上一步后到各个点距离 \(\mod 3\) 后为 \(j\) 的节点个数。

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对于两个 \(dp\) 分别跑一遍 \(dfs\)

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对于 \(dp1\) 比较好处理，直接往下 \(dfs\)
以 \(u\) 开始的答案等于从 \(v\) 开始的答案加上这一条边 \(w\) 的贡献，可以得到
\[ dp1[u][(j+w)\%3] = \sum (dp1[v][j] + cnt1[v][j]*w)\ cnt1[u][(j+w)\%3] = \sum cnt1[v][j] \]

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对于 \(dp2\) 会比较麻烦，需要用 \(fa\) 节点向上的贡献在加上 \(fa\) 节点往下的贡献在减去 \(fa\) 节点往 \(u\) 走的贡献。这些节点就是 \(u\) 往上走一步后可以走到的所有节点。这样算出真实的节点数和距离总和，然后 \(u\) 才能开始转移。
设 \(faw\) 为从 \(u\) 到 \(fa\) 的路径长度
计算真实的节点数：
\[ c[j] = cnt2[fa][j]+cnt1[fa][j]\ c[(j+faw)\%3] -= cnt1[u][j] \]
计算真实的距离总和：
\[ d[j] = dp2[fa][j]+dp1[fa][j] \ d[(j+faw)\%3] -= dp1[u][0]+cnt1[u][j]*faw \]
则最后的 \(dp2\) 就可以利用 \(d\) 和 \(c\) 得到了
\[ dp2[u][(j+faw)\%3] = c[j]*faw+d[j] \ cnt2[u][(j+faw)\%3] = c[j] \]

/*************************************************************** 
    > File Name    : a.cpp
    > Author       : Jiaaaaaaaqi
    > Created Time : Mon 16 Sep 2019 08:55:33 PM CST
 ***************************************************************/

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cfloat>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#define  lowbit(x)  x & (-x)
#define  mes(a, b)  memset(a, b, sizeof a)
#define  fi         first
#define  se         second
#define  pb         push_back
#define  pii        pair<int, int>

typedef unsigned long long int ull;
typedef long long int ll;
const int    maxn = 1e5 + 10;
const int    maxm = 1e5 + 10;
const ll     mod  = 1e9 + 7;
const ll     INF  = 1e18 + 100;
const int    inf  = 0x3f3f3f3f;
const double pi   = acos(-1.0);
const double eps  = 1e-8;
using namespace std;

int n, m;
int cas, tol, T;

vector< pii > vv[maxn];
ll cnt1[maxn][3], cnt2[maxn][3];
ll dp1[maxn][3], dp2[maxn][3];

void dfs1(int u, int fa) 
    cnt1[u][0] = 1;
    for(auto i : vv[u]) 
        int v = i.fi, w = i.se;
        if(v == fa) continue;
        dfs1(v, u);
        dp1[u][(0+w)%3] += (cnt1[v][0]*w%mod+dp1[v][0])%mod;
        dp1[u][(1+w)%3] += (cnt1[v][1]*w%mod+dp1[v][1])%mod;
        dp1[u][(2+w)%3] += (cnt1[v][2]*w%mod+dp1[v][2])%mod;
        for(int j=0; j<3; j++)  dp1[u][j] %= mod;
        cnt1[u][(0+w)%3] += cnt1[v][0];
        cnt1[u][(1+w)%3] += cnt1[v][1];
        cnt1[u][(2+w)%3] += cnt1[v][2];
    


void dfs2(int u, int fa) 
    if(u!=1) 
        int faw;
        for(auto i : vv[u]) 
            if(i.fi == fa) 
                faw = i.se;
                break;
            
        
        int c[3] =  0 ;
        c[0] = cnt2[fa][0]+cnt1[fa][0];
        c[1] = cnt2[fa][1]+cnt1[fa][1];
        c[2] = cnt2[fa][2]+cnt1[fa][2];
        c[(0+faw)%3] -= cnt1[u][0];
        c[(1+faw)%3] -= cnt1[u][1];
        c[(2+faw)%3] -= cnt1[u][2];
        ll d[3] =  0 ;
        d[0] = (dp2[fa][0]+dp1[fa][0])%mod;
        d[1] = (dp2[fa][1]+dp1[fa][1])%mod;
        d[2] = (dp2[fa][2]+dp1[fa][2])%mod;
        d[(0+faw)%3] = ((d[(0+faw)%3] - (cnt1[u][0]*faw%mod+dp1[u][0])%mod+mod)%mod+mod)%mod;
        d[(1+faw)%3] = ((d[(1+faw)%3] - (cnt1[u][1]*faw%mod+dp1[u][1])%mod+mod)%mod+mod)%mod;
        d[(2+faw)%3] = ((d[(2+faw)%3] - (cnt1[u][2]*faw%mod+dp1[u][2])%mod+mod)%mod+mod)%mod;
        
        dp2[u][(0+faw)%3] = (c[0]*faw%mod+d[0])%mod;
        dp2[u][(1+faw)%3] = (c[1]*faw%mod+d[1])%mod;
        dp2[u][(2+faw)%3] = (c[2]*faw%mod+d[2])%mod;
        cnt2[u][(0+faw)%3] += c[0];
        cnt2[u][(1+faw)%3] += c[1];
        cnt2[u][(2+faw)%3] += c[2];
    
    for(auto i : vv[u]) 
        int v = i.fi, w = i.se;
        if(v == fa) continue;
        dfs2(v, u);
    


int main() 
    // freopen("in", "r", stdin);
    while(~scanf("%d", &n)) 
        for(int i=1; i<=n; i++) 
            vv[i].clear();
        
        mes(dp1, 0), mes(dp2, 0);
        mes(cnt1, 0), mes(cnt2, 0);
        for(int i=1, u, v, w; i<n; i++) 
            scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
            u++, v++;
            vv[u].pb(make_pair(v, w));
            vv[v].pb(make_pair(u, w));
        
        dfs1(1, 0);
        dfs2(1, 0);
        // for(int i=1; i<=n; i++) 
        //     for(int j=0; j<3; j++) 
        //         printf("dp1[%d][%d] = %lld, cnt1[%d][%d] = %lld\n", i, j, dp1[i][j], i, j, cnt1[i][j]);
        //     
        // 
        // cout << "-----------------" << endl;
        // for(int i=1; i<=n; i++) 
        //     for(int j=0; j<3; j++) 
        //         printf("dp2[%d][%d] = %lld, cnt2[%d][%d] = %lld\n", i, j, dp2[i][j], i, j, cnt2[i][j]);
        //     
        // 
        ll ans0, ans1, ans2;
        ans0 = ans1 = ans2 = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++) 
            ans0 = (ans0+dp1[i][0]+dp2[i][0])%mod;
            ans1 = (ans1+dp1[i][1]+dp2[i][1])%mod;
            ans2 = (ans2+dp1[i][2]+dp2[i][2])%mod;
        
        printf("%lld %lld %lld\n", ans0, ans1, ans2);
    
    return 0;