CF786BLegacy

Posted 2022-11-05 wzj-xhjbk

题目大意：初始给定 N 个点，支持三种操作：两点之间连边；一个点与一个连续区间编号的点之间连边；一个连续区间内的点和一个点连边，求执行 N 次操作之后的单源最短路。

题解：学会了线段树优化建图。
发现若暴力进行连边，时间和空间都会被卡到 \(O(n^2)\)，直接起飞。
发现连边的点的编号是连续的，结合线段树可以维护连续区间信息的思想，就产生了线段树优化建图的方法。
在初始的 N 个节点的基础上建立两棵线段树，分别表示入树和出树，其中入树的上的各个节点允许单个节点的连接；出树上的节点允许连接单个节点。对于入树中的每个节点来说，需要连一条边权为 0 的有向边到它的两个儿子，表示若有节点连向父节点，那么一定也连向了儿子节点；对于出树上的每个节点来说，需要连一条边权为 0 的有向边到它的父节点，表示若当前节点可以连向某个节点，那么其子节点也一定可以走到这个节点。
时空复杂度分析：空间为两棵线段树的空间减去一份叶子节点的大小，即：\(3 * n\)，时间复杂度为 \(elog^2v\)，其中 e 是边的条数，v 是节点的个数。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

struct edge 
    int to;
    LL w;
    edge(int x = -1, int y = -1) 
        to = x, w = y;
    
;

struct segtree 
    #define ls(o) tree[o].lc
    #define rs(o) tree[o].rc
    struct node 
        int lc, rc;
    ;
    vector<node> tree;
    int tot, rootin, rootout;
    segtree(int n, vector<vector<edge>> &adj) 
        tot = n;
        tree.resize(3 * n);
        buildin(rootin, 1, n, adj);
        buildout(rootout, 1, n, adj);
    
    void buildin(int &o, int l, int r, vector<vector<edge>> &adj) 
        if (l == r) 
            o = l;
            return;
        
        o = ++tot;
        int mid = l + r >> 1;
        buildin(ls(o), l, mid, adj);
        buildin(rs(o), mid + 1, r, adj);
        adj[o].emplace_back(ls(o), 0);
        adj[o].emplace_back(rs(o), 0);
    
    void buildout(int &o, int l, int r, vector<vector<edge>> &adj) 
        if (l == r) 
            o = l;
            return;
        
        o = ++tot;
        int mid = l + r >> 1;
        buildout(ls(o), l, mid, adj);
        buildout(rs(o), mid + 1, r, adj);
        adj[ls(o)].emplace_back(o, 0);
        adj[rs(o)].emplace_back(o, 0);
    
    void link(int o, int l, int r, int x, int y, int u, int w, int opt, vector<vector<edge>> &adj) // opt 2 -> in  3 -> out
        if (l == x && r == y) 
            opt == 2 ? adj[u].emplace_back(o, w) : adj[o].emplace_back(u, w);
            return;
        
        int mid = l + r >> 1;
        if (y <= mid) 
            link(ls(o), l, mid, x, y, u, w, opt, adj);
         else if (x > mid) 
            link(rs(o), mid + 1, r, x, y, u, w, opt, adj);
         else 
            link(ls(o), l, mid, x, mid, u, w, opt, adj);
            link(rs(o), mid + 1, r, mid + 1, y, u, w, opt, adj);
        
    
;

int main() 
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m, s;
    cin >> n >> m >> s;
    vector<vector<edge>> adj(3 * n);
    segtree t(n, adj);
    while (m--) 
        int opt;
        cin >> opt;
        if (opt == 1) 
            int u, v, w;
            cin >> u >> v >> w;
            adj[u].emplace_back(v, w);
         else 
            int u, l, r, w;
            cin >> u >> l >> r >> w;
            t.link(opt == 2 ? t.rootin : t.rootout, 1, n, l, r, u, w, opt, adj);
        
    
    vector<LL> d(3 * n, 1e18);
    vector<bool> expand(3 * n);
    priority_queue<pair<LL, int>> q;
    auto dijkstra = [&]() 
        d[s] = 0, q.push(make_pair(0, s));
        while (!q.empty()) 
            int u = q.top().second;
            q.pop();
            if (expand[u] == 1) 
                continue;
            
            expand[u] = 1;
            for (auto e : adj[u]) 
                int v = e.to, w = e.w;
                if (d[v] > d[u] + w) 
                    d[v] = d[u] + w;
                    q.push(make_pair(-d[v], v));
                
            
        
    ;
    dijkstra();
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        if (d[i] == 1e18) 
            cout << "-1" << " ";
         else 
            cout << d[i] << " ";
        
    
    return 0;