AcWing - 197 - 阶乘分解

Posted 2022-11-05 inko

https://www.acwing.com/problem/content/199/

求解n!的质因数分解，n数量级1e6。

一个最简单的思路就是暴力分解每个数的质因数，复杂度过高。

换一种思路，当需要批量处理的时候，用线性筛求出每个数的最小质因数，然后对这个数进行质因数分解只需要log级别。

191ms：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN = 1e6;
int minp[MAXN + 5];
int p[MAXN + 5], ptop;
void sieve(int n) 
    minp[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) 
        if(!p[i]) 
            p[++ptop] = i;
            minp[i] = i;
        
        for(int j = 1, t; j <= ptop && (t = i * p[j]) <= n; j++) 
            p[t] = 1;
            minp[t] = p[j];
            if(i % p[j])
                ;
            else
                break;
        
    


int cnt[MAXN + 5];

int main() 
#ifdef Yinku
    freopen("Yinku.in", "r", stdin);
#endif // Yinku
    int n;
    scanf("%d", &n);
    sieve(n);
    for(int i = 2; i <= n; ++i) 
        int tmp = i;
        while(tmp > 1) 
            ++cnt[minp[tmp]];
            tmp /= minp[tmp];
        
    

    for(int i = 2; i <= n; ++i) 
        if(cnt[i])
            printf("%d %d\n", i, cnt[i]);
    

还有另一种思路复杂度是一样的，但是不需要这么多除法。显然n以内拥有因子p的恰好有n/p个，而拥有两个因子p的恰好有n/(p^2)个，用乘法直接计算理论上更快。

43ms：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN = 1e6;
int p[MAXN + 5], ptop;
void sieve(int n) 
    for(int i = 2; i <= n; i++) 
        if(!p[i]) 
            p[++ptop] = i;
        
        for(int j = 1, t; j <= ptop && (t = i * p[j]) <= n; j++) 
            p[t] = 1;
            if(i % p[j])
                ;
            else
                break;
        
    


int cnt[MAXN + 5];

int main() 
#ifdef Yinku
    freopen("Yinku.in", "r", stdin);
#endif // Yinku
    int n;
    scanf("%d", &n);
    sieve(n);
    for(int i = 1; i <= ptop; ++i) 
        int ans = 0;
        for(ll j = p[i]; j <= n; j *= p[i])
            ans += n / j;
        printf("%d %d\n", p[i], ans);