启发式分治入门 Non-boring sequences UVA - 1608

Posted 2022-11-03 -zzz-

参考自：https://blog.csdn.net/XY20130630/article/details/50635756

题意：一个序列被称为是不无聊的，仅当它的每个连续子序列存在一个独一无二的数字，
即每个子序列里至少存在一个数字只出现一次。
给定一个整数序列，请你判断它是不是不无聊的。

分析：预处理每个元素上一次出现位置和下一个出现位置，
　　我们发现对于一个子序列[L,R]来说，
　　如果存在pre[i]<L&&nxt[i]>R那么这个子序列一定是满足条件的，
　　否则就不满足，那么我们分治处理这个问题，
　　从两边往中间寻找这个i，那么每次拆开的复杂度就是拆成的两个序列中较小的一个，
　　所以这是一个逆启发式合并的过程，复杂度O(nlogn)

一、在区间[l,r]找到一个只出现一次的元素P（如果不存在，那么序列无聊）
二、递归处理区间[l,p−1]和区间[p+1,r]

关键在于如何找到一个只出现一次的元素。

首先，我们得知道如何判断一个元素是不是只出现一次。
我们可以用STL中的map记录与当前元素值相同的上一个元素（下一个元素）的位置，然后滚动更新即可。
因为map的所有操作都是O(logn)的，所以预处理的时间复杂度为O(nlogn)

所以，我们就可以用O(1)的时间判断出一个元素是不是只出现一次了。

若从左到右扫描整个序列，那么最坏情况，这个元素在序列的最右边，则
T(n)=T(n−1)+O(n)≥T(n2)=O(n2)

根据二分法一般是尽量分成两个数量尽量接近的数列，我们可以考虑从两边往中间找。（这就是启发式）
此时，最坏情况为这个元素在序列的正中间，则
T(n)=2T(n/2)+O(n)，解得T(n)=O(nlogn)

所以算法的总时间复杂度为O(nlogn)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;

const int maxn = 2e5+5;
int n;
int pre[maxn],nxt[maxn],a[maxn];
map<int,int> mp;

bool check(int L,int R)                   //先预处理pre,nxt
    if(L>=R) return true;
    int l=L,r=R;
    for(int i=L; i<=R; i++)               //后从两边往中间判断，就会玄学降低复杂度,目的在于找点
        if(i&1)
            if( pre[l]<L && nxt[l]>R )    //满足pre[i]<L&&nxt[i]>R 则这个点符合条件
                return check(L,l-1) && check(l+1,R);  //就再判断剩下的子串
            
            l++;
        
        else
            if( pre[r]<L && nxt[r]>R)
                return check(L,r-1) && check(r+1,R);
            
            r--;
        
    
    return false;


int main()
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d",a+i);
        
        mp.clear();
        for(int i=1; i<=n; i++)
            pre[i] = mp[ a[i] ];
            nxt[ mp[a[i]] ] = i;
            mp[ a[i] ] = i;
        
        for(int i=1; i<=n; i++)
            nxt[ mp[a[i]] ] = n+1;
        
        if(check(1,n)) puts("non-boring");
        else puts("boring");