@codeforces - 1209F@ Koala and Notebook

Posted 2022-11-01 tiw-air-oao

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@description@

给定一个 n 点 m 边的无向连通图，每条边的编号按照输入顺序依次为 1, 2, ..., m。
现从 1 号点出发，当经过编号为 i 的边时，将 i 写下来。因为写的数之间没有空隙，所以写下来的所有数最终会连成一个数。
对于每一个除 1 以外的点，当它作为终点时，最终连成的数最小是多少？
输出答案模 10^9 + 7。注意，你应该输出 最小可能的数的余数，而不应该是 最小可能的余数。

Input
第一行包含两个整数 n 和 m (2≤n≤10^5,n?1≤m≤10^5)，表示点数与边数。
接下来 m 行，每行两个整数 xi 与 yi，表示第 i 条无向边连接 xi, yi。
保证没有重边。保证图连通。

Output
输出 n - 1 个数字，第 i 个数字表示以 i + 1 为终点的最小可能的数 mod 10^9 + 7。

Examples
Input
11 10
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
10 11
Output
1
12
123
1234
12345
123456
1234567
12345678
123456789
345678826

@solution@

首先考虑一条边 u -> v 的权值如果为多位数 i，它的十进制表达为 \((d1...dm)_10\)，则可以拆成 m 条边 u -> a1(d1), a1 -> a2(d2), ..., am-1 -> v(dm)。
这样就可以把每条边的权值都变为 0~9，方便我们下面的操作。

两个十进制数的比较，先比较位数，位数相同再比较字典序。
而在我们拆边后的图中，一条路径的距离就表示了这条路径代表的数的位数。
我们可以从点 1 出发跑最短路（其实跑 bfs 就好了），构建最短路图，则顺着最短路图走就可以保证位数最优。

接下来在最短路图上，我们考虑怎么才能走字典序最小的路径。
字典序是从前比到后，所以我们肯定是尽量保证先走权值最小的边。

但是有一个问题：假如权值最小的边有多个，应该选哪个？
正确的方法应该是同时增广这些边。将这些边连接的点连成链表形式，然后 dfs 的时候传表头即可。

@accepted code@

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 2000000;
const int MOD = int(1E9) + 7;
struct edge
    int to, key;
    edge(int _t=0, int _k=0):to(_t), key(_k) 
;
vector<edge>G[MAXN + 5];
void addedge(int u, int v, int w) 
    G[u].push_back(edge(v, w));
//  printf("! %d %d %d\n", u, v, w);

int cnt;
void func(int u, int v, int id) 
    int p = id;
    while( p ) 
        if( p >= 10 )
            addedge(++cnt, u, p % 10), u = cnt;
        else addedge(v, u, p % 10);
        p /= 10;
    

int d[MAXN + 5], n, m;
void bfs(int x) 
    queue<int>que;
    que.push(x); d[x] = 1;
    while( !que.empty() ) 
        int f = que.front(); que.pop();
        for(int i=0;i<G[f].size();i++) 
            edge p = G[f][i];
            if( !d[p.to] ) 
                d[p.to] = d[f] + 1;
                que.push(p.to);
            
        
    

int ans[MAXN + 5], nxt[MAXN + 5];
bool vis[MAXN + 5];
void dfs(int x, int k) 
    int p = x;
    while( p ) ans[p] = k, p = nxt[p];
    for(int i=0;i<10;i++) 
        int q = -1, fir = -1; p = x;
        while( p ) 
            for(int j=0;j<G[p].size();j++) 
                edge &r = G[p][j];
                if( vis[r.to] || d[p] + 1 != d[r.to] )
                    continue;
                if( r.key == i ) 
                    if( q != -1 ) nxt[q] = r.to;
                    else fir = r.to;
                    vis[q = r.to] = true;
                
            
            p = nxt[p];
        
        if( fir != -1 )
            dfs(fir, (10LL*k + i)%MOD);
    

int main() 
    scanf("%d%d", &n, &m), cnt = n;
    for(int i=1;i<=m;i++) 
        int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
        func(x, y, i), func(y, x, i);
    
    bfs(1), vis[1] = true, dfs(1, 0);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        printf("%d\n", ans[i]);

@details@

注意原图虽然是无向边，但是我们拆出来的边就变成了有向边。

枚举最小权值边，可以通过枚举 0~9（即枚举边权），找出对应权值的边。