XSY2515管道（pipe）（最小生成树+倍增lca）

Posted 2022-10-31 ez-lcw

题面

Description

给你一个城市下水道网络图，你需要选出一些管道，使得在只使用这些管道的情况下，令整个网络联通，并且花费最小。

网络图可以看做是无向连通图，有\(n\)个节点和\(m\)条边，每条边连接\(u_i\)和\(v_i\)，选择的花费是\(w_i\)。

不巧的是，由于某些原因，现在市政局要求选定某条特定的边管道，你的任务是求出对于某一条边，在选择这条管道的前提下的最小花费。

Input

第\(1\)行包含两个整数\(n\)，\(m\)，表示点数和边数。

第\(2\)~\(m+1\)行每行三个整数\(u_i\)，\(v_i\)，\(w_i\)，表示有一条管道连接\(u_i\)和\(v_i\)，费用为\(w_i\)。

Output

输出m行，每行一个整数，表示选择第i条管道的前提下的最小花费。

管道按输入的顺序编号为\(1\)~\(m\)。

Sample Input

5 7
1 2 3
1 3 1
1 4 5
2 3 2
2 5 3
3 4 2
4 5 4

Sample Output

9
8
11
8
8
8
9

Hint

对于\(20\%\)的数据，\(n<=1000\)，\(m<=2000\)

对于另外\(20\%\)的数据，\(m<=n+10\)

对于\(100\%\)的数据，\(2<=u_i,v_i<=n<=100000\)，\(1<=m<=200000\)，\(w_i<=2^31\)

保证初始图连通。

题解

题目就是求包含某条边的最小生成树。

先把原图的最小生成树求出来。

枚举图上的每一条边，考虑选择这条管道的前提下的最小花费：

1. 如果这条边就在最小生成树上，显然，最小花费就是最小生成树的边权和。

2. 如果这条边不在最小生成树上，如下图中的边\((5,6)\)：

   

   显然如果我们加入了边\((5,6)\)，就会构成一个环，这个环的一部分就是\((5,6)\)，另一部分是在树上的\(5\)到\(6\)的路径，即\(5\longrightarrow3\longrightarrow4\longrightarrow6\)。

   这样如果我们去掉环上的任意一条边，所有点还是联通的，且边权和比没去时更小。

   又因为我们不能去掉边\((5,6)\)，所以我们只能去掉原图的最小生成树上的\(5\)到\(6\)的路径的任意一边。

   且为了保证去掉这条边后边权和最小，我们要去掉这条路径上边权最大的边。

这样两种情况都讨论完了，至于第二种情况的路径上边权最大值怎么维护，可以用树剖或者倍增。

代码如下:

#include<bits/stdc++.h>

#define N 1000010
#define M 2000010
#define int long long
#define ll long long

using namespace std;

struct edge

    int u,v,w,id;
e[M];

int n,m,fa[N];
int f[N][20],maxn[N][20],d[N];
int cnt,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],w[N<<1];
ll ans,Ans[N];
bool flag[N];

inline int read()

    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    
        x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^'0');
        ch=getchar();
    
    return x*f;


int find(int x)

    if(x==fa[x])return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);


inline bool cmp(edge a,edge b)

    return a.w<b.w;


inline void adde(int u,int v,int wi)

    to[++cnt]=v;
    w[cnt]=wi;
    nxt[cnt]=head[u];
    head[u]=cnt;


void dfs(int u)

    for(int i=1;i<=18;i++)//倍增数组
    
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
        maxn[u][i]=max(maxn[u][i-1],maxn[f[u][i-1]][i-1]);
    
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
    
        if(to[i]!=f[u][0])
        
            f[to[i]][0]=u;
            maxn[to[i]][0]=w[i];
            d[to[i]]=d[u]+1;
            dfs(to[i]);
        
    


inline int LCA(int a,int b)//a->lca->b

    int maxx=0;
    if(d[a]<d[b])
        swap(a,b);
    for(int i=18;i>=0;i--)
        if(d[f[a][i]]>=d[b])    
            maxx=max(maxx,maxn[a][i]),a=f[a][i];
    if(a==b)
        return maxx;
    for(int i=18;i>=0;i--)
    
        if(f[a][i]!=f[b][i])
        
            maxx=max(maxx,max(maxn[a][i],maxn[b][i]));
            a=f[a][i],b=f[b][i];
        
    
    maxx=max(maxx,max(maxn[a][0],maxn[b][0]));
    return maxx;


signed main()

    n=read(),m=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    
        e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].w=read();
        e[i].id=i;
    
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(register int i=1,num=0;i<=m;i++)//最小生成树
    
        if(num==n-1)
            break;
        int a=find(e[i].u),b=find(e[i].v);
        if(a!=b)
        
            fa[a]=b;
            adde(e[i].u,e[i].v,e[i].w);
            adde(e[i].v,e[i].u,e[i].w);
            ans+=e[i].w;
            flag[i]=true;
            num++;
        
    
    d[1]=1;
    dfs(1);
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    
        if(flag[i])//这条边在最小生成树
        
            Ans[e[i].id]=ans;
            continue;
        
        int maxx=LCA(e[i].u,e[i].v);//不在就求u、v路径上的边权最大值
        Ans[e[i].id]=ans-maxx+e[i].w;
    
    for(register int i=1;i<=m;i++)
        printf("%lld\n",Ans[i]);
    return 0;

另，相似题：XSY2485，以及题解。