XSY2485MST（最小生成树+倍增lca+并查集）

Posted 2022-10-31 ez-lcw

题面

Description

给定一个\(n\)个点\(m\)条边的连通图，保证没有自环和重边。对于每条边求出,在其他边权值不变的情况下,它能取的最大权值，使得这条边在连通图的所有最小生成树上。假如最大权值为无限大，则输出\(-1\)。

Input

第一行两个整数\(n\),\(m\)，表示\(n\)个点\(m\)条边

接下来\(m\)行，每行\(3\)个整数\(x\),\(y\),\(z\)，表示节点\(x\)和节点\(y\)之间有一条长\(z\)的边。

Output

输出一行\(m\)个整数，表示每条边的答案

Sample Input

4 4
1 2 2
2 3 2
3 4 2
4 1 3

Sample Output

2 2 2 1 

HINT

对于\(30\%\)的数据\(1≤n≤10^3\),\(1≤m≤3\times10^3\)

对于\(100\%\)的数据\(1≤n,m≤2\times 10^5\),\(1≤z≤10^9\)

题解

（来自XSY的solution）

先求出图的一棵最小生成树：

对于不在树上的边\((x,y)\)， 它的权值只要小于树上\(x\)到\(y\)路径中一条边就可以代替这条边。

对于在树上的边\((x,y)\)，可以先预处理出所有两端在\(x\)到\(y\)路径上的不在树上的边的最小值。它的权值一定要小于最小值。

路径\(max\)和\(min\)都可以用倍增求。

时间复杂度\(O(nlogn)\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
 
#define N 200010
#define M127 2139062143
 
using namespace std;
 
struct edge

    int u,v,w,id;
e[N];
 
int n,m,fa[N],ans[N];
int cnt,head[N],to[N<<1],nxt[N<<1],w[N<<1],id[N<<1];
int f[N][20],maxn[N][20],from[N],d[N];
bool flag[N];
 
void adde(int u,int v,int wi,int idi)

    to[++cnt]=v;
    w[cnt]=wi;
    id[cnt]=idi;
    nxt[cnt]=head[u];
    head[u]=cnt;

 
bool cmp(edge a,edge b)

    return a.w<b.w;

 
int find(int x)

    if(fa[x]!=x)
        return fa[x]=find(fa[x]);
    return x;

 
void dfs(int u)

    for(int i=1;i<=18;i++)
    
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
        maxn[u][i]=max(maxn[u][i-1],maxn[f[u][i-1]][i-1]);
    
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) 
    
        if(to[i]!=f[u][0])
        
            f[to[i]][0]=u;
            maxn[to[i]][0]=w[i];
            from[to[i]]=id[i];
            d[to[i]]=d[u]+1;
            dfs(to[i]);
        
    

 
int getMax(int a,int b,int &lca)

    int ans=0;
    if(d[a]<d[b])
        swap(a,b);
    for(int i=18;i>=0;i--)
    
        if(d[f[a][i]]>=d[b])
        
            ans=max(ans,maxn[a][i]);
            a=f[a][i];
        
    
    if(a==b)
    
        lca=a;
        return ans;
    
    for(int i=18;i>=0;i--)
    
        if(f[a][i]!=f[b][i])
        
            ans=max(ans,maxn[a][i]);
            ans=max(ans,maxn[b][i]);
            a=f[a][i],b=f[b][i]; 
        
    
    lca=f[a][0];
    return max(ans,max(maxn[a][0],maxn[b][0]));

 
void solve(int u,int lca,int wi)

    u=find(u);
    while(d[u]>d[lca])
    
        ans[from[u]]=min(ans[from[u]],wi-1);
        fa[u]=find(f[u][0]);
        u=find(u);
    

 
int main()

    memset(ans,127,sizeof(ans));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
        e[i].id=i;
    
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1,tot=0;i<=m;i++)
    
        if(tot==n-1)
            break;
        int x=find(e[i].u);
        int y=find(e[i].v);
        if(x!=y)
        
            fa[y]=x;
            adde(e[i].u,e[i].v,e[i].w,e[i].id);
            adde(e[i].v,e[i].u,e[i].w,e[i].id);
            flag[i]=true;
            tot++;
        
    
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        if(!flag[i])
        
            int lca;
            ans[e[i].id]=getMax(e[i].u,e[i].v,lca)-1;
            solve(e[i].u,lca,e[i].w);
            solve(e[i].v,lca,e[i].w);
        
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        if(ans[i]==M127)printf("-1 ");
        else printf("%d ",ans[i]);
    
    return 0;