[P5348]密码解锁
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了[P5348]密码解锁相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
Description
给一个长度为 \(n\) 的数组 \(a[1\dots n]\) ,满足 \(\sum_m|xa[x] = \mu(m)\),求 \(a[m]\)。
\(n\le 10^18, m\le 10^9, \fracnm\le10^9,n\geq m\)
Solution
由另一种形式的莫比乌斯反演:
\[ \beginaligned a[m] &= \sum_m|x\mu(\fracxm)\mu(x)\&=\sum_i=1^\fracnm\mu(i)\mu(im)\&=\mu(m)\sum_i=1^\lfloor\fracnm\rfloor\mu(i)^2[\gcd(i, m) = 1]\\endaligned \]
后面那个 \(\sum\) 就是在求 \(1\dots \fracnm\) 中与 \(m\) 互质且不能写成完全平方数的倍数的个数。
类似于 [中山市选2011]完全平方数,可以容斥求:
令 \(N = \lfloor\fracnm\rfloor\),
\[ \beginaligned a[m] &=\mu(m)\sum_i=1^\fracnm\mu(i)^2[\gcd(i, m) = 1]\&=\mu(m)\sum_i=1^\sqrtN\mu(i)\sum_j=1^\lfloor\fracNi^2\rfloor[\gcd(i^2j,m)=1]\&=\mu(m)\sum_i=1^\sqrtN\mu(i)[\gcd(i,m)=1]\sum_j=1^\lfloor\fracNi^2\rfloor[\gcd(j,m)=1]\&=\mu(m)\sum_i=1^\sqrtN\mu(i)[\gcd(i,m)=1]\sum_j=1^\lfloor\fracNi^2\rfloor\sum_d|\gcd(j,m)\mu(d)\&=\mu(m)\sum_i=1^\sqrtN\mu(i)[\gcd(i,m)=1]\sum_d|m\mu(d)\lfloor\frac\lfloor\fracNi^2\rfloord\rfloor \endaligned \]
然后就可以把 \(m\) 的所有约数处理出来,暴力算(复杂度上界为 \(O(T\sqrt \fracnm \sqrt m)\),实际后面的 \(\sqrt m\) 跑不满)。
注意\(\mu\)要筛到\(\sqrt N\)复杂度才是对的(不然多一个根号)。
code
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
#define SZ(x) ((int)x.size())
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define MP(x, y) std::make_pair(x, y)
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define GO cerr << "GO" << endl;
using namespace std;
inline void proc_status()
ifstream t("/proc/self/status");
cerr << string(istreambuf_iterator<char>(t), istreambuf_iterator<char>()) << endl;
template<class T> inline T read()
register T x(0);
register char c;
register int f(1);
while (!isdigit(c = getchar())) if (c == '-') f = -1;
while (x = (x << 1) + (x << 3) + (c xor 48), isdigit(c = getchar()));
return x * f;
template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) return a > b ? a = b, 1 : 0;
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) return a < b ? a = b, 1 : 0;
const int maxN = 1e5;
bool vis[maxN + 1];
vector<int> prime;
int mu[maxN + 1];
LL n, m;
void Init()
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= maxN; ++i)
if (!vis[i])
prime.push_back(i);
mu[i] = -1;
for (int j = 0; j < SZ(prime) and prime[j] * i <= maxN; ++j)
vis[prime[j] * i] = 1;
if (i % prime[j] == 0)
break;
else
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
int Mu(LL M)
if (M <= maxN) return mu[M];
//GO;
int cnt = 0;
for (LL i = 2; i * i <= M; ++i)
if (M % i == 0)
M /= i;
cnt++;
if (M % i == 0)
return 0;
if (M != 1) cnt++;
return (cnt & 1) ? -1 : 1;
vector<pair<LL, int> > p;
LL calc(LL i)
LL ans(0);
for (int l = 0; l < SZ(p); ++l)
ans += (LL)p[l].second * (((n / m) / (i * i)) / p[l].first);
return ans;
void GetP(LL m)
p.clear();
for (LL d = 1; d * d <= m; ++d)
if (m % d == 0)
p.push_back(MP(d, Mu(d)));
if (m / d == d) continue;
p.push_back(MP(m / d, Mu(m / d)));
void Solve()
int T = read<int>();
while (T--)
n = read<LL>(), m = read<LL>();
GetP(m);
LL ans(0);
for (LL i = 1; i * i <= (n / m); ++i)
if (__gcd((LL)i, m) == 1)
ans += Mu(i) * calc(i);
ans *= Mu(m);
printf("%lld\n", ans);
int main()
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("xhc.in", "r", stdin);
freopen("xhc.out", "w", stdout);
#endif
Init();
Solve();
return 0;
以上是关于[P5348]密码解锁的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
FQLockSDK: iOS手势密码解锁,面容ID解锁,指纹解锁