SDOI2018反回文串（ARC064 FRotated Palindromes 加强版）

Posted 2022-10-31 scx2015noip-as-php

题意

　　给你一个正整数 \(n\)，求有多少字符集为 \(1\) 到 \(k\) 之间整数的字符串，使得该字符串可以由一个长度为 \(n\) 的回文串循环移位得到。
　　ARC原题 \(100\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^9\)
　　SDOI改编后，\(30\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^10\)，\(60\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^14\)，\(100\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^18\)……

题解

\(n,k\le 10^10\)

　　考虑一个回文串，设它的循环节长度为 \(x\)，若 \(x\) 为奇数，则对答案贡献 \(x\)；若为偶数，则对答案贡献 \(\fracx2\)。
　　我们按 \(x\) 把所有字符串分类，统计每一类的数量。
　　设 \(f(i)\) 表示最小循环节长度为 \(i\) 的回文串数量，\(F(i)\) 表示循环节长度为 \(i\)（即 \(i\) 是最小循环节长度的正整数倍）能得到新回文串的回文串数量。
　　则 \[F(i)=\sum\limits_d|i f(d)\] \[ans = \sum\limits_d|n f(d)\times \begincases d（d为奇数） \\ \fracd2（d为偶数） \endcases\]
　　显然有 \(F(i)=k^\lceil \fraci2\rceil\)，我们可以解 \(f(d)\) 了。
　　\(n\le 10^10\) 时，因数最多约有 \(6700\) 多个。所以我们要求出 \(6700\) 多个 \(f(d)\)。

　　解法一：移项得 \(f(i)=F(i)-\sum\limits_d|i 且 d≠i f(i)\)
　　递推 \(f\) 即可。

　　解法二：这不是莫比乌斯反演式子？
　　根据公式转化成 \(f(i)=\sum\limits_d|i F(d)\mu(\fracid)\)
　　我们最多只需要求 \(6700\) 多个 \(\mu\)，因为可以暴力 \(\textdfs\) 计算 \(\mu(i)\)。
　　然后直接算 \(f(i)\) 即可。

　　复杂度大约 \(O(6700^2)\)。

\(n,k\le 10^14\)

　　发现 \(\textdfs\) 的时候，每个质因数只需要乘 \(0\) 或 \(1\) 个，乘 \(2\) 个的话 \(\mu\) 值就变成了 \(0\) 了。
　　于是复杂度变为 \(O(17280\times 2^12)\)，但约数数量通常不多，更不会卡满上界 \(17280\)，所以卡卡常就能 \(60\) 分？

\(n,k\le 10^18\)

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