优化 Karatsuba 乘法（老物）

Posted 2022-10-26 juwan

虽然写好了我自己用的a*启发函数但还是有些不尽人意，如果通过数学分析确定不出问题可以工作了的话应该就会发出来了

// Karatsuba 递归式距离推导
// h(x) = f(x) * g(x)：//x为拆分后余出的10^x
// h(x) = (a * x + b) * (c * x + d) = a * c * (x^2) + (a * d + b * c) * x + b * d
// (a * d + b * c) = (a + b) * (c + d) - a * c - b * d = a * c + a * d + b * c + b * d - a *c - b *d
// 综合起来就是h(x) = a * c * (x^2) + ((a + b) * (c + d) - a * c - b * d) * x + b * d

// Karatsuba 相乘算法例 : 1234 * 5678
// x = 1234, y = 5678, pos = 2(取较大者的折半位), x1 = 12, x0 = 34, y1 = 56, y0 = 78
// 根据该式进行下两数乘法操作 h(x) = (x1 * y1) * (10^(2*pos) + ((x1 + x0) * (y1 + y0) - (x1 * y1) - (x0 * y0)) * 10^pos + (x0 + y0)
// 拆分为(12 * 10^2 + 34) * (56 * 10^2 + 78) = 12 * 56 * 10^2 + ((12 + 34) * (56 + 78) - (12 * 56) - (34 * 78)) * 10^2 + (34 + 78)
// (12 * 56) 与 (34 * 78) 会被继续展开,在那之前先保存,避免多次重复递归，而递归结束的条件为a * b 的两者均小于0，返回直接相乘的结果。