洗牌算法

Posted 2020-07-30 饭后温柔

假定随机数生成器可视为“真随机”的话，我们随机洗乱一副牌，非常有趣的是一些很自然的思路，并不一定能够产生均匀分布。假定牌面存储在一个数组里。

　思路一：

　　每次生成2个随机数索引，交换在这2个索引位置上的牌。伪码：

        static void ShufflePukes(int[] plist)
        {
            for (int i = 0; i < plist.Length; i++)
            {
                int ia = rand() % plist.length;
                int ib = rand() % plist.length;
                swap(plist[ia], plist[ib]);
            }
        }

　　用到了2次rand()，似乎是不必的。如果每次与第一个位置交换，直觉上是等价的。而且如果rand()是伪随机数列的话(几乎肯定是)，相邻数之间关联性是很密切的，即伪随机数列按组分割的话不能看做是独立的，也即不是均匀分布的，印象中一本随机过程的书有提到，我只记得结论了。

　　于是我们去掉多余的一个rand()。

思路二：

        static void ShufflePukes(int[] plist)
        {
            for (int i = 0; i < plist.Length; i++)
            {
                int ia = rand() % plist.length;
                swap(plist[0], plist[ia]);
            }
        }

　　看起来很漂亮。但实际上，无论思路一或思路二，牌面组合都不是均匀分布的。

　　正确的算法叫做Fisher_Yates算法。

　　每次产生随机索引后，分别与第一位，第二位，第三位...的位置进行交换。伪码如下(为方便我从后往前索引):

思路三：

static void ShufflePukes(int[] plist)
        {
            for (int i = plist.Length - 1; i >= 0; i--)
            {
                int ia = rand() % (i + 1);
                swap(plist[i], plist[ia]);
            }
        }

　　为何思路三是正确的？其差别相当细微，就是已经交换过的牌不再参与交换。

　　这可以从排列组合来考虑。n张不同的牌其排列组合共有n!种组合。很自然的一种算法如果产生的组合不等于n!，自然就是不均匀的。

　　对于思路三，其随机索引每次都不计入之前的位置，其组合为n!，所以是正确的。

　　对于思路二，每次迭代，若除去自身，每次都有n-1种可能，其组合上界为(n-1)^n，必定有一些牌被抽中的特别多，所以是错误的。