聊聊使用位运算来实现加法（老物）

Posted 2022-10-25 juwan

好久没写资料了，一方面是现在要写的东西太多，思考的事情也太多，都没什么时间来坐下来整理一下有趣的资料出来（其实还是因为自己太懒。）

今晚偶然间看到有人问起了不用内置 + 运算符怎么实现 + 法，这个问题让我想起了不用比较运算符（ < 、 > 、 = ）怎么实现比较，其实都不是问题，用我的理解方式去理解其实就是一个小学的问题 = -= 。

那按我前面所说的就设置一个最终目标吧。

如何从零开始实现一个比较运算符。

（显然今天这篇是讲不到最终目标了，也许以后也讲不到了，不过看完这篇文章后，你应该就知道怎么做了。）

首先我们先在数学上讲得通道理，再拿到计算机里面看着实现，比较这事情呢，主要就看与 0 的结果。
比如：a > b => a - b > 0，那我们只需要知道 (a - b) 的结果的正负号就可以做出比较的结果了。
所以我们得有正负数的定义吧，然后还得有(a - b)的减法实现吧。
那么如何实现减法呢？一个正数加上一个负数是不是就有了减法呢？确实是。
所以今天的主题就回到标题上，只要有了加法，那就会有了减法，同样也会有乘法，甚至就会有了比较运算，就如上解释可知。

小时候，我们最早计算 9 + 11 的时候是这样算的。

      11
    +  9
    -------
      20

没错吧，这个我认为中国人都应该知道的吧，自行百度 竖式计算 。
其实，这个在二进制数中也是可行的，而上面那个是十进制的，二进制的就叫逢二进一。

      11    =>        1011
    +  9    =>    +   1001
    -------        --------
      20             10100

这个结果你能接受的话，那我们就进入到代码实现部分吧。

对于二进制的竖式计算中存在两个逻辑，分别是 进位 和 合并 。
进位指对列同为 1 的执行逢二进一，合并指对列不同数值的执行为 1 。
以上逻辑将分别用二进制运算来取代，前者可以视为按位与（&）和左移一位，后者可以视为两数执行按位或。
我附加一点二进制运算说明吧。

在位运算中 ^ 和 & 分别产生以下结果。

      1011
    ^ 1001
    ---------     
      0010

数学意义为，模拟逢二进一的相加结果，保留未进位的结果，这是为了模拟竖式计算的加法结果。
（因为同为 1 则进位，同为 0 无结果，最终结果都是要将其变为 0 ，则可以理解为进位后的结果。）

      1011
    & 1001
    ---------     
      1001

数学意义为，标记所有进位位置，对其执行 << 1 即可得到进位的结果。

以 1011 + 1001 为例：

根据竖式运算可知：

      1011  // 
    + 1001  // 
    ---------
     00010  // 先 1011 ^ 1001 合并得到未进位的结果（ 1011 ^ 1001 = 00010 ）
     10010  // 1011 & 1001 = 1001 不为 0 存在进位，故执行 1001 << 1 得到进位后的结果 1001 
    ---------
     10000  // 通过 00010 ^ 10010 合并得到未进位的结果（ 00010 ^ 10010 = 10000 ）
     00100  // 00010 & 10010 = 00010 不为 0 存在进位，故执行 00010 << 1 得到进位后的结果 00100 
    ---------
     10100  // 通过 10000 ^ 00100 合并得到未进位的结果（ 10000 ^ 00100 = 10100 ）
     00000  // 10000 & 00100 = 00000 ，此时结束运算。
    ---------

合并（^）结果后检查是否为可进位（&），直到最终不存在可进位的数，则说明加法结束。

最后贴个代码。

uint add(uint a, uint b)

    uint sum, carry;
    while(1)
    
        sum = a ^ b, carry = a & b;
        if(0 == carry) 
    
        break;
    
        a = sum, b = carry << 1;
    
    return sum;


uint Add(uint a, uint b)

    uint sum = a ^ b, carry = a & b;
    return (0 != carry) ? Add(sum, carry << 1) : sum;