公钥加密-DES-RSA

Posted 2022-10-24 person1-0-1

公理

双方使用同一规则加密---------密钥（对称加密算法DES）data encryption standard

 

 

最大问题

双方一起制定--------办法：密钥交换算法，不用直接传递密钥------------------私钥（非对称加密算法RSA）三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 

 

 

互质关系

除了1以外，没有其他公因子    比如，15和32没有公因子:

1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。

　　6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。

 

欧拉函数

任意正整数n，请问在 <= n 的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？-----欧拉函数

Φ(n) = n * (1 - 1/p1)*(1 - 1/p2)*(1 - 1/p3)*(1 - 1/p4)

Φ(1323) = Φ(3^3 * 7^2) = 1323 * （1 - 1/3）（1 - 1/7）

 

欧拉定理

-----  a和b互质

------- a^Φ(b) = 1 (mod b)  -----》 a的（b的欧拉函数）次方减一  :等于:能整除b

3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）

 

模反元素

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1

 

-------ab==1(mod n)

-------a*a^(Φ(b) - 1) = 1 (mod b)

 

密钥生成的步骤

公钥和私钥

第一步，随机选择两个不相等的质数p和q-----------------61和53

第二步，计算p和q的乘积n------------------------------3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位

n = p×q

第三步，计算n的欧拉函数φ(n)-----------------φ(3233)等于60×52，即3120

φ(n) = (p-1)(q-1)

第四步，随机选择一个整数e，条件是1------------在1到3120之间，随机选择了17,实际应用中，常常选择65537

e ≡ range(1 ,  φ(n)) 

第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d

ed ≡ 1 (mod φ(n))------------------17x + 3120y = 1(二元一次方程)

第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥

其中一个解 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753

n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）

质积，随机，模反元素，    公钥（质积，随机），私钥（质积，模反元素）

 

 

RSA算法的可靠性

（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。

　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。

　　（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。---------n根号2

33478071698956898786044169
　　84821269081770479498371376
　　85689124313889828837938780
　　02287614711652531743087737
　　814467999489
　　　　×
　　36746043666799590428244633
　　79962795263227915816434308
　　76426760322838157396665112
　　79233373417143396810270092
　　798736308917

 

加密和解密

1 加密要用公钥 (n,e)

信息m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n

me ≡ c (mod n)

爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65

65 * 17 ≡ 2790 (mod 3233)

鲍勃就把2790发给了爱丽丝

2 解密要用私钥(n,d)

用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密

cd ≡ m (mod n)

2790 * 2753 ≡ 65 (mod 3233)

 

如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。

 

私钥解密的证明

最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：

　　cd ≡ m (mod n)

因为，根据加密规则

　　ｍe ≡ c (mod n)

于是，c可以写成下面的形式：

　　c = me - kn

将c代入要我们要证明的那个解密规则：

　　(me - kn)d ≡ m (mod n)

它等同于求证

　　med ≡ m (mod n)

由于

　　ed ≡ 1 (mod φ(n))

所以

　　ed = hφ(n)+1

将ed代入：

　　mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)

接下来，分成两种情况证明上面这个式子。

（1）m与n互质。

根据欧拉定理，此时

　　mφ(n) ≡ 1 (mod n)

得到

　　(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)

原式得到证明。

（2）m与n不是互质关系。

此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。

以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：

　　(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)

进一步得到

　　[(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)

即

　　(kp)ed ≡ kp (mod q)

将它改写成下面的等式

　　(kp)ed = tq + kp

这时t必然能被p整除，即 t=t‘p

　　(kp)ed = t‘pq + kp

因为 m=kp，n=pq，所以

　　med ≡ m (mod n)

原式得到证明。

 

 

 

结果：

加密：信息*随机 = 加密信息*欧拉函数

解密：加密信息*模反 = 信息*欧拉函数

核心：随机*模反 = 1*欧拉函数

应用:

1 分段加密

2 用DES加密信息，用RSA加密DES密钥