Super Egg Drop

Posted 2022-10-24 shiina922

一道陈题.

100 层楼 2 个玻璃球

起因是窥室友手机屏, 看到他群里有人问一个经典问题.

两个一模一样的玻璃球, 两个玻璃球如果从一定高度掉落到地上会被摔碎, 如果在这个高度以下往下扔怎么都不会碎, 现在已知这个恰巧摔碎的高度范围在 1 层楼到 100 层楼之间, 如何用最少的试验次数, 用这两个玻璃球测试出玻璃球恰好摔碎的楼高呢?¹

当只剩 1 个球时, 只能一层一层往上测试. 第 1 个球的任务是减少第 2 个球所需测试的次数. 直观上讲, 第 1 个球测试点的间隔要越来越小, 这样第 2 个球所需测试次数少, 才能保证总次数一定.

记最少测试次数为 \(m\), 即最优策略的最坏测试次数为 \(m\). 若第 1 个球第 \(j\) 次测试 (之前都没碎) 在 \(n_j\) 层下落

• 没碎, 则 \(j+1\) 次测试时, 问题归结为求 \(100 - n_j\) 层楼的最少试验次数.
• 摔碎, 则第 2 个球要在 \(m-j\) 次内在 \(n_j - n_j-1 - 1\) 层楼中完成测试. 而第 2 个球 \(m-j\) 次最多只能在 \(m-j\) 层楼中定位临界层数.

因此 2 个球 \(m\) 次测试最多可以在 \(m + (m-1) + \dots + 1 = m(m+1)/2\) 层楼中定位临界层数. 最小测试次数即 \(\min\m\in\mathbb N \mid m(m+1)/2 \ge 100\ = 14\). 策略并不唯一, 例如令 \(n_j = m + (m-1) + \dots + (m-j+1)\), 其中 \(j\le 11\).

\(N\) 层楼 \(k\) 个玻璃球

一个很自然的问题是, 若有 \(k\) 个玻璃球, 求在 \(N\) 层楼中定位临界层数需要的最少测试次数.² 类似上题, 考虑 \(k\) 个球 \(m\) 次测试最多能在 \(f(k, m)\) 层楼中定位临界层数. 若第 1 个球第 1 次测试在 \(n_1\) 层下落

• 没碎, 则剩下 \(k\) 个球, \(m-1\) 次机会, 至多还可以在上面的 \(f(k, m-1)\) 层楼中定位临界层数.
• 摔碎, 则剩下 \(k-1\) 个球, \(m-1\) 次机会, 至多还可以在下面的 \(f(k-1, m-1)\) 层楼中定位临界层数.

因此

\[ f(k, m) = f(k, m-1) + 1 + f(k-1, m-1), \]

边界条件 \(f(0, m) = f(k, 0) = 0\), 或者说 \(f(1,m) = m\), \(f(k,1) = 1\).

这个形式让人很自然地想起了 (广义) 组合数的递推式

\[ \fracm(m-1)\cdots (m-n+1)n!=\beginpmatrixm\\n\endpmatrix = \beginpmatrixm-1\\n\endpmatrix + \beginpmatrixm-1\\n-1\endpmatrix. \]

所以要想办法把递推式中的 1 去掉. First attempt 是记 \(g(k,m) = f(k, m) + 1\), 但是这样边界条件不对. 尝试 \(g(k,m) = f(k,m) - f(k,m-1)\) 边界条件也不对. 记 \(g(k,m) = f(k,m) - f(k-1,m)\), 则

\[ g(k,m) = g(k, m-1) + g(k-1, m-1), \]

这次边界条件对了, \(g(1,m) = m\), \(g(1,1) = 1\), \(g(k,1) = 0\) for \(k>1\). 易知

\[ f(k,m) = \sum_x=1^k g(x,m) + f(0,m) = \sum_x=1^k\beginpmatrixm\\x\endpmatrix. \]

于是 \(k\) 个球 \(N\) 层楼, 最少测试次数是 \(\min\m \mid f(k,m) \ge N\\).

class Solution:
    def superEggDrop(self, k: int, N: int) -> int:
        
        def f_k(m):  
        # if f(k, m) >= N, return True; else False
            result = 0
            c = 1
            for x in range(1, k+1):
                c = c * (m-x+1) / x  # combinatorial number C_m^x
                result += c  # f(x, m)
                if result >= N:
                    return True
            return False
        
        # binary search
        left, right = 1, N
        while left < right:
            mid = (left + right) // 2
            if f_k(mid):
                right = mid
            else:
                left = mid + 1
        return left

算法时间复杂度 \(O(k\log N)\), 空间复杂度 \(O(1)\).

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1. 题目的意思是只要玻璃球不碎, 那么它是不会受到损伤的, 即临界层数 (最低摔碎楼层) 不变. 给定一个策略 \(S\colon \mathbb N \to \mathbb N\), \(S(n)\) 表示临界层数为 \(n\) 时, 该策略需要测试的次数, 则最少测试次数是指 \(\displaystyle \min_S\max_n S(n)\).?

2. 查了查, LeetCode 887 就有这个问题.?