清华集训2014玛里苟斯

Posted 2022-10-22 daklqw

看到这道题，然后便联想到了数位DP什么的……接着发现了答案在一个界内，然后就想着暴力了。

首先如果对每一位都设一个变量的话，根据插板法，最多只能有1e7个项对答案有贡献，和答案在一个界内这个条件组合起来，这启发我们去想暴力。

首先非基变量是没有用的，考虑它们的选和不选，最后都要除掉。

所以只有基变量有贡献。

显然基变量越多跑的越慢，这个时候设基变量有 \(b\) 个，很明显可以得到答案的一个粗略的下界

\[ \frac\sum_i=0^2^b-1 i^k2^b-1 \]

首先上面是一个自然幂数前缀和，显然是一个 \(k+1\) 项的多项式，忽略常数带来的影响，除掉分母，令 \(x = 2^b\)，可得

\[x ^ k \le 2^63 \]

也就是说，$ b \leq \log_2 \sqrt[k]2^63 $，易得 \(k \geq 3\) 的时候是可以暴力枚举基的。

那么只剩下 \(k = 1\) 或 \(2\) 了。

考虑 \(k = 1\)，只要按位考虑贡献即可。

考虑 \(k = 2\)，对于平方，只是同一种方案对每两个位的值进行乘积后求和。所以需要同时考虑两位，分别考虑这两位是 \(0\) 还是 \(1\)，然后再考虑解数。

所以还是一道简单题。

但是我还没写……写了就补上代码，顺便哪里说错了会改