乘法逆元 学习总结

Posted 2022-10-22 bakacirno

基本都是抄的大神写好的东西，主要作为一个复习，加深印象。

定义：若整数 b,m 互质，并且 b|a（b整除a），则存在一个整数 x，使得 a/b ≡ a * c (mod m)。则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b^-1(mod m)。

那么我们如何求 b^-1(mod m) ？

根据定义，a/b ≡ a * b^-1 ≡ a/b * b * b^-1 (mod m)，那么 b * b^-1 ≡ 1 (mod m)。

到这里可以用两种方法求解b^-1(mod m)：

1、费马小定理。

　　费马小定理：若p是质数，则对于任意整数 a，有 a^p ≡ a (mod p)。那么 b^p ≡ b (mod p) → b * b^p-1 ≡ b (mod p) → b * b^p-2 ≡ 1 (mod p)。因此，当模数 p 为质数时，b^p-2 即为 b^-1(mod p) 。因此我们可以使用快速幂求出逆元。

2、解同余方程。

　　因为 b * b^-1 ≡ 1 (mod m)，那么同余方程 b * x ≡ 1 (mod m) 的解就是逆元，相当于解方程 b * x + m * y = 1，根据扩展欧几里得，只要保证了 b,m 互质，我们就可以用这种方法求出逆元。

当然还有其他特殊情况我们需要选用特殊的方法来求逆元:

1、求解 1~n 这样一串连续数的逆元：

　　已知 1^-1 ≡ 1 (mod p)

　　设 p = k * i + r，即 ⌊p/i⌋ = k，p%i = r

　　那么 k * i + r ≡ 0 (mod p)

　　左右同乘以i^-1r^-1，得 k * r^-1 + i^-1 ≡ 0 (mod p)

　　移项，得 i^-1 ≡ -k * r^-1 (mod p)

　　因为k = ⌊p/i⌋，r = p%i

　　可得，i^-1 = -⌊p/i⌋ * (p%i)^-1 (mod p)

　　为保证逆元为正数，得

　　i^-1 = (p-⌊p/i⌋) * (p%i)^-1 (mod p)

　　那么我们就可以利用这个式子递推出 1~n 的逆元。

2、求 1~n 的阶乘数的逆元：

　　因为$\dfrac 1\left( i+1\right) !\times \left( i+1\right) =\dfrac 1i!$

　　设 inv[i] 为 i! 的逆元，那么 inv[i+1] * (i+1) = inv[i]

　　利用这个关系我们就可以在知道 inv[n] 的情况下逆推出 1~n 的阶乘的逆元了。