loj 6695天气之子

Posted 2022-10-21 scx2015noip-as-php

找规律题的典范？

题意

　　https://loj.ac/problem/6695

题解

\(n\le 5\)

　　打表

\(n\le 10^5\)

　　发现不能直接求最优解，于是二分答案。
　　验证答案时，先把前 \(2\) 个人放到 \(1,m\) 这两个位置，用一个堆维护每相邻两个位置的差值，每新来一个人时，取出最小的差值，均分成两半，各扔进堆。若取出的差值 \(\le 3\) 就判定答案不可行。
　　然后考虑二分答案的上界 \(R\)，不难发现 \(R\le 3n\)，因为最终一定不可能存在大于 \(3\) 的差值，否则可以减小答案。
　　时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

\(n\le 10^18\)

　　依然二分答案 \(m\)，考虑优化判定。
　　手算发现，差值最多只有 \(2^i\) 和 \(2^i+1\)（\(i\in N\)）两种，即 \(2\log m\) 种。
　　故从大到小递推并累加每种差值的出现次数，若累加到 \(n\) 时扫到的差值 \(\le 1\) 就判定答案不可行。
　　时间复杂度 \(O(\log^2 n)\)。

\(n\le 10^1000\)

　　找规律，但做法可能和 loj 的题解不太一样，是 scb 大神犇（猜的？）
　　我们发现把输入和输出交换一下，这似乎就是个简单 \(\textdp\) 题：设 \(f(i)\) 表示座位数为 \(i\) 时最多能不相邻地坐下多少人，则有 \[f(i)=f(\lfloor \fraci-32\rfloor)+f(i-3-\lfloor \fraci-32\rfloor)+1\]
　　即选取最中间的一个座位，那么它相邻的两个座位不能用了，剩下 \(i-3\) 个座位被平分成两半，每一半为一个后继状态。
　　然后有 $\(ans=f(i-4)+2\)
　　即上面的 \(\textdp\) 转移是每次在一段座位的最中间放一个人，我们最后还要在两端放上一开始的两个人。
　　题目是输入 \(ans\)，输出 \(i\)。设 \(g\) 是 \(f\) 的逆函数，因为 \(ans-2=f(i-4)\)，所以 \(g(ans-2)=i-4\)，即 \(g(ans-2)+4=i\)。

　　现在只需要快速求 \(g(n)\)（\(n=ans\)）。
　　把 \(f\) 函数打个表，发现变化很奇怪，好像没规律。把 \(g\) 函数打个表，好像也没规律。
　　但是把 \(g\) 函数的每相邻两项的差分值打个表，发现差分值依次为 \[1,3,1,5,1,1,1,9,1,1,1,1,1,1,1,17,1,1,\cdots\]
　　我们发现这个序列就是在全 \(1\) 的序列上 把第 \(2^1\) 位加 \(2^1\)，把第 \(2^2\) 位加 \(2^2\)，把第 \(2^3\) 位加 \(2^3\)……
　　由于这是 \(g\) 的差分序列，前 \(n\) 项的和就是 \(g(n)\)。
　　观察和的规律。第 \(1\) 个数为 \(2^0\)，第 \(2-3\) 个数的和为 \(2^2\)，第 \(4-7\) 个数的和为 \(2^3\)，第 \(8-15\) 个数的和为 \(2^4\)……
　　下标和数值都呈 \(2\) 的指数级增长。
　　若把和看成一个二进制数，这个数不会超过 \(\log_210^1000≈3000\) 位。
　　由于最后一段是不完整的，我们单提出最后一段求和，再对前面 \(\log_2\) 个整段求和。
　　求最后一段前 \(k\) 个数的和：发现该段第一个数就是上一段的总和 \(+1\)，后面的数全是 \(1\)，故递推时算一下当前扫到的段的和，从上一段的和加上 \(k\) 个 \(1\) 就是最后一段前 \(k\) 个数的和。
　　求前面所有完整段的和：设总共有 \(n\) 段，