每日一题_190912

Posted 2022-10-15 math521

已知椭圆 \\(\\dfracx^2a^2+\\dfracy^2b^2=1\\) \\((a>b>0)\\) 的左右焦点分别为 \\(F_1(-c,0)\\), \\(F_2(c,0)\\), 动弦 \\(AB\\) 过左焦点, 若 $\\left| \\overrightarrowF_2A- \\overrightarrowF_2B \\right| \\geqslant \\left| \\overrightarrowF_2A+ \\overrightarrowF_2B \\right| $ 恒成立, 则椭圆的离心率的取值范围是\\(\\underline\\qquad\\qquad\\).
解析: 如图, 设直线 \\(AB\\) 的倾斜角为 \\(\\theta\\), 则 \\(\\theta\\) 的取值范围为 \\([0,\\pi)\\),

对题中所给条件不等式 \\(\\left| \\overrightarrowF_2A- \\overrightarrowF_2B \\right| \\geqslant \\left| \\overrightarrowF_2A+ \\overrightarrowF_2B \\right|\\) 两边平方可化简为
\\[ \\overrightarrowF_2A\\cdot \\overrightarrowF_2B\\leqslant 0. \\] 即
\\[\\forall \\theta\\in[0,\\pi), \\left( \\overrightarrowF_2F_1+\\overrightarrowF_1A \\right)\\cdot \\left(\\overrightarrowF_2F_1+\\overrightarrowF_1B \\right)\\leqslant 0,\\] 记上述不等式左侧为 \\(LHS\\), 则\\[ \\beginsplit LHS =&\\overrightarrowF_2F_1^2+\\overrightarrowF_2F_1\\cdot \\overrightarrowF_1A+\\overrightarrowF_2F_1\\cdot \\overrightarrowF_1B+\\overrightarrowF_1A\\cdot\\overrightarrowF_2B\\ =&4c^2-2c\\cdot \\dfracb^2a-c\\cos\\theta\\cdot \\cos\\theta+2c\\cdot \\dfracb^2a+c\\cos\\theta\\cdot \\cos\\theta \\&-\\dfracb^2a-c\\cos\\theta\\cdot \\dfracb^2a+c\\cos\\theta \\ =& \\dfrac4a^2c^2\\sin^2\\theta -b^4a^2-c^2\\cos^2\\theta. \\endsplit\\] 从而 \\[ \\forall \\theta\\in[0,\\pi), 4a^2c^2 \\sin^2\\theta-b^4\\leqslant 0. \\]
于是可得 \\(4a^2c^2-b^4\\leqslant 0\\). 若记椭圆离心率为 \\(e=\\dfrac ca\\), 则有
\\[ e^2+2e-1\\leqslant 0, e\\in (0,1). \\] 解得 \\(e\\) 的取值范围为 \\(\\left(0,\\sqrt2-1\\right )\\).