kruskal重构树

Posted 2022-10-13 ilverene

简介

kruskal重构树是对kruskal算法的拓展，可以看为一种特殊的数据结构。

实践中可以解决一系列涉及可达点的问题。（这话讲了估计也看不懂）

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实现思路

在kruskal算法的流程中，当我们将两个点连接在一起时，不进行直接的连接，而是新建一个节点，然后分别连上。

我们将这个节点的点权设为原先两个点之间的边权，最后可以形成一颗树。

不难发现，这样的树满足一些性质：

1. 两点之间路径边权的最大值是他们的lca的权值。

2. 树中的叶子节点是原树中的节点，而非叶节点是新增的节点。

3. 由于是根据kruskal算法的顺序建树，所以非叶节点点权具有单调性。

考虑下面这道题作为应用的例子：

Peaks

这里只给出如何用kruskal重构树解决边权限制。

首先建出kruskal重构树，然后dfs预处理每个节点能到达的节点范围。

每一次询问的时候我们都从给定的叶节点开始倍增向上跳，直到不满足题意。

找到了目标非叶节点之后主席树查询即可。

总结来说：如果题目涉及对边权的限制，那么可以考虑使用kruskal重构树进行快速求解。不过需要注意的是，不是所有对边权有限制的题目都能用该算法解决。

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例题

Peaks

归程「NOI2018」