最大公约数和最小公倍数（详细）

Posted 2022-10-07 kenny-feng

在写“更相减损法”的完整框架时，有一个细节问题要注意：自定义函数返回的结果，要在主函数中将其结果赋值给一个变量，以便后续代码所用，否则即便调用了该函数，也得不到该函数执行的结果。因为返回的结果是局部变量，不能跨函数使用。要在用完自定义函数的那一刻，及时地将结果赋值给一个变量

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前言：

约数和倍数：存在于有整除关系的两个整数之间。即若a能整除b，也即a%b=0（余数），则a为b的倍数，b为a的约数（大的为倍数，小的为约数。倍数大于等于约数）。如：12÷3=4…0，则12为3的倍数，3为12的约数

公约数：几个整数的公共约数

最大公约数：Greatest Common Divisor (GCD) 指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]

实例1：12和16

∵ 12的约数有1、2、3、4、6、12，而16的约数为1、2、4、8、16。（一个整数的约数是有限的）

∴公约数：1、2、4

∴最大公约数：4

记为（12，16）=4或记为（16，12）=4

最小公倍数：Least Common Multiple （LCM）两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号

实例2：12和16

12的倍数有12、24、36、48、60、72、84、96、108......，而16的倍数有16、32、48、64、80、96、112......，（一个整数的倍数有无限个

∴公倍数有48、96......

∴最小公倍数：48

记为 [ 12，16 ] =48或 [ 16，12 ] =48

最大公约数的求法：

（1）质因数分解法（所有因素全为质数）

 

（2）辗转相除法：（欧几里得算法）

 

编程思路：a÷b=c...d（其中a>b），若d为0，则b就为最大公约数，否则，用b去除d，此时b为被除数，d为除数，而在程序中，由始至终，符号a永远代表被除数，b代表除数，c代表商，d代表余数，所以b要当被除数，就要变为a，即a = b ，而d要当除数，就要变为b，即b = d

 1 def gcd(a,b):    #定义求最大公约数的函数
 2 
 3     if a < b:
 4 
 5         a,b = b,a
 6 
 7     r = 1    #只要初始值不为0即可
 8 
 9     while r != 0:
10 
11         r = a % b
12 
13         a = b
14 
15         b = r
16 
17     return a
18 
19  
20 
21 def lmg(a,b):     #定义求最小公倍数的函数
22 
23     return a*b//gcd(a,b)
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25  
26 
27 def main():
28 
29     a = eval(input())
30 
31     b = eval(input())
32 
33     print("最大公约数：",gcd(a,b))
34 
35     print("最小公倍数：",lcm(a,b))
36 
37 main()

 上述代码不用主函数也行（即去掉def main()和main()这两句），并不是去掉后只执行第一个自定义函数。但为了严谨完整、思路清晰，建议放进主函数中

（3）更相减损法：

Notes：辗转相除法求最大公约数效率最高

最小公倍数的求法：

方法一：看上述（1）

方法二：看上述（2），先求除最大公约数，通过（a，b）×[a，b]=a×b求最大公约数（公式法）

Notes：公式法求最小公倍数效率最高

 1 a = eval(input())
 2 
 3 b = eval(input())
 4 
 5 if a<b:
 6 
 7     a,b = b,a
 8 
 9 #保证a不小于b
10 
11  
12 count = 0
13 
14 if a%2 == 0 and b%2 ==0:    #a和b全为偶数时，执行下面代码
15 
16     while a%2 == 0 and b%2 ==0:     #如果全为偶数，用2不断去除a和b，直到不全为偶数即可（但不一定互质，如11和77）
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18         a = int(a/2)    #除法运算返回float型,需转为int
19 
20         b = int(b/2)
21 
22         count+=1    #统计除了多少次2
23 
24     while a-b != b:     #切记：在整个程序中，a永远表示被减数，b为减数，a-b为差。且必须保证a不小于b，下面的if语句就实现了此功能
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26         a,b = b,a-b     #将每次循环计算得到的减数和差赋值成被减数和减数，以便下次计算
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28         if a<b:
29 
30             a,b = b,a
31 
32     print(b*2**count)   #用最终得到的减数和2的count次方相乘
33 
34     
35 else:   #a和b是否全为偶数时，执行下面代码
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37     while a-b != b:
38 
39         a,b = b,a-b
40 
41         if a<b:
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43             a,b = b,a
44 
45     print(b)

 完整框架（函数封装）：

 1 def abc(a,b):
 2     if a<b:
 3         a,b = b,a
 4     while a-b != b:
 5         a,b = b,a-b
 6         if a<b:
 7             a,b = b,a
 8     return b
 9 
10 def main():
11     a = eval(input())
12     b = eval(input())
13     count = 0
14     if a%2 == 0 and b%2 ==0:
15         while a%2 == 0 and b%2 ==0:
16             a = int(a/2)
17             b = int(b/2)
18             count+=1
19         b = abc(a,b)
20         print("最大公约数：",b*2**count)
21     else:
22         b = abc(a,b)
23         print("最大公约数：",b)
24 main()

切记：在主函数中,函数abc()的结果要赋值给一个变量，否则即便return b ，后续代码也用不了这个b，而是用原来的b