P1680 奇怪的分组

Posted 2022-10-06 hrj1

题目背景

终于解出了dm同学的难题，dm同学同意帮v神联络。可dm同学有个习惯，就是联络同学的时候喜欢分组联络，而且分组的方式也很特别，要求第i组的的人数必须大于他指定的个数ci。在dm同学联络的时候，v神在想，按照dm同学的规则一共可以有多少种方案呢？他想啊想,终于……没想出来。于是他又想到了聪明的你，你能帮v神算出按照dm同学的规则有多少种分组方案吗？

题目描述

v神的班级共有n个人，dm同学想把同学分成M组联络，要求第i组的人数必须大于给定的正整数Ci，求有多少不同的方案？（两个是相同的方案当且仅当对于任意的一队i，两个方案的第i组同学数量相等）由于结果很大，所以你只需要输出模1000000007的值。

输入格式

第一行两个整数N和M ，后面有M行，每行一个整数，表示Ci

输出格式

仅有一行，一个整数，方案数模1000000007的值。

输入输出样例

输入 #1复制

10 3
1
2
3

输出 #1复制

3

说明/提示

样例解释：

方案有三种，每组的个数分别是（3,3,4），（2,4,4），（2,3,5）。

数据范围约定：

对于30%的数据，N ,M<= 10

对于60%的数据，N ,M<=1000

对于100%的数据，N ,M<= 1000000 Ci<=1000

数据保证至少有一个方案

 

Lucas定理可以直接求 C(n, m)C(n,m) modmod pp

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define MOD 1000000007
typedef long long LL;

inline int Read()
    int s=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)
        if(ch==‘-‘)
            w=-1;
        
        ch=getchar();
    
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
        s=s*10+ch-‘0‘;
        ch=getchar();
    
    return s*w;


int n, m;

LL Qpow(LL a, LL b, LL p) 
    LL ans = 1;
    for(; b; b>>=1, (a*=a) %= p)
        if(b & 1) (ans *= a) %= p;
    return ans;


LL c(LL n, LL m, LL p) 
    if(n < m) return 0;
    if(m > n - m) m = n - m;
    LL s1 = 1, s2 = 1;
    for(int i=0; i<m; i++) 
        s1 = s1 * (n - i) % p;
        s2 = s2 * (i + 1) % p;
    
    return s1 * Qpow(s2, p-2, p) % p;


LL Lucas(LL n, LL m, LL p) 
    if(m == 0) return 1;
    return c(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;


int main() 
    n = Read(), m = Read();
    for(int i=1; i<=m; i++) n -= Read();
    printf("%d\n", Lucas(n-1, m-1, MOD));
    return 0;