[SHOI2013]阶乘字符串

Posted 2022-10-06 gzh-red

题目描述

给定一个由前\(n\)个小写字母组成的串\(S\)。
串\(S\)是阶乘字符串当且仅当前\(n\)个小写字母的全排列（共\(n!\)种）都作为\(S\)的子序列（可以不连续）出现。
由这个定义出发，可以得到一个简单的枚举法去验证，但是它实在太慢了。所以现在请你设计一个算法，在\(1\)秒内判断出给定的串是否是阶乘字符串。

输入格式

输入第\(1\)行一个整数\(T\)，表示这个文件中会有\(T\)组数据。
接下来分\(T\)个块，每块\(2\)行：
第\(1\)行一个正整数\(n\)，表示\(S\)由前\(n\)个小写字母组成。
第\(2\)行一个字符串\(S\)。

输出格式

对于每组数据，分别输出一行。每行是\(YES\)或者\(NO\)，表示该数据对应的串\(S\)是否是阶乘字符串。

样例输入

2
2
bbaa
2
aba

样例输出

NO
YES

【样例解释】

第一组数据中，ab这个串没有作为子序列出现。

数据范围

\[ N \leq 26 \\\T \leq 5 \\\|S| \leq 450 \\\\]

解题报告

题意理解

这道题目,有一点点绕? 可能是我太菜了

我们初步读题可知,题目要求我们判断一个字符串.

给你一个\(N\),如果说一个字符串满足\(N\)的全排列字符串

而且这些字符串,都以序列的形式出现在这个字符串,那么我们称之为合法,否则不合法.

算法解析

这道题目运用的是.状态压缩DP.

首先我们思考一下,这道题目\(N \leq 26\),这个数据范围似乎不太好状态压缩?

数据太大了....

但是我们发现,其实\(N \ge 21\),完全可以判断无解.

这是为什么,有证明吗?

当\(n \ge 21\)的时候

假设\(|S| = 450\)

在|S|中任意取21个数字

$ C(450, 21) < 21！$

说明这\(450\)个字符不能完全凑成\(n!\)个序列。

---

接下来我们着重分析一下,状态压缩思想.

我们知道状态压缩其实就是 集合二进制枚举 处理.

那么既然如此,我们不妨设置一下 状态表示.

1. 状态是一个 集合
2. 题目要求 全排列合法
3. 一般题目中,总会有 最后一位,也就是转移过来的元素

设\(f[S]\)表示当\(S\)中集合中的字母构成的排列均在原序列\([1,f[S]]\)出现的最小值。

既然如此的话.

我们不妨预处理一下.

\(g[i][j]\)表示从\(i\)开始下一个字母\(j\)出现的位置。

总而言之,我们就是利用 刷表法则,一步步推导状态.

因此我们不妨设置核心程序.

for(int S=1; S<(1<<n); S++)//枚举子集

    int cnt=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
        if(S & (1<<i) ) //s集合拥有这一位,其实也就是i结尾
            cnt=max(cnt,g[f [S^(1<<i) ]][i] );//排除这一位,然后转移过来
    f[S]=cnt;//更新

代码解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=460;
#define read(x) scanf("%d",&x)
int t,n,m,g[N][32],f[1<<21];
char s[N];
inline void init()

    read(t);
    while(t--)
    
        read(n);
        scanf("%s",s+1);//默认读入从1开始
        m=strlen(s+1);
        if (n>21)//特殊判定无解情况
        
            puts("NO");
            continue;
        
        for(int i=m+1; i>=0; i--)//从i开始下一个j出现的位置
        
            for(int j=0; j<n; j++)
                g[i][j]=( i>=m ? m+1 : g[i+1][j] ); //前面的位置,最近的是当前这位的
            if(i!=m)
                g[i][ s[i+1]-'a' ]=i;//当前位为最近的
        
        for(int S=1; S<(1<<n); S++)//枚举子集
        
            int cnt=0;
            for(int i=0; i<n; i++)
                if(S & (1<<i) ) //s集合拥有这一位,其实也就是i结尾
                    cnt=max(cnt,g[f [S^(1<<i) ]][i] );//排除这一位,然后转移过来
            f[S]=cnt;//更新
        
        printf("%s\n",f[ (1<<n)-1 ] <=m ? "YES":"NO" );//是否存在
    

int main()

    init();
    return 0;