凸优化问题

Posted 2022-09-27 nxf-rabbit75

一、无约束优化

对于无约束的优化问题，直接令梯度等于0求解。

如果一个函数$f$是凸函数，那么可以直接通过$f(x)$的梯度等于0来求得全局极小值点。

 

二、有约束优化

• 若$f(x)，h(x)，g(x)$三个函数都是线性函数，则该优化问题称为线性规划。若任意一个是非线性函数，则称为非线性规划。
• 若目标函数为二次函数，约束条件全为线性函数，称为二次规划。
• 若$f(x)$为凸函数，$g(x)$为凸函数，$h(x)$为线性函数，则该问题称为凸优化。注意这里不等式约束$g(x)<=0$则要求$g(x)$为凸函数，若$g(x)>=0$则要求$g(x)$为凹函数。

1.只含有等式约束

对于含有等式约束的优化问题，拉格朗日乘子法，构造拉格朗日函数，令偏导为0求解。

（1）优化问题是凸优化

通过下图两个条件求得的解就是极小值点（而且是全局极小）

（2）优化问题不是凸优化

上面两个条件只是极小值点的必要条件，还需要附加多一个正定的条件才能变成充要条件

 

2.只含有不等式约束

对于含有不等式约束的优化问题，同样构造拉格朗日函数，利用KKT条件求解。

对于不等式约束$g(x)<=0$，和等式约束$h(x)=0$不一样，$h(x)=0$可以在平面上画出一条等高线，而$g(x)<=0$是一个区域，很多个等高线堆叠而成的一块区域，我们把这块区域称为可行域。

• （不考虑可行域限制时的）极小值点落在可行域内（不包含边界）

这个时候可行域的限制不起作用，相当于没有约束，直接$f(x)$的梯度等于0求解，这个时候$g(x极小值点)<0$（因为落在可行域内）。

• （不考虑可行域限制时的）极小值点落在可行域外（包含边界）

可行域的限制起作用，极小值点应该落在可行域边界上即$g(x)=0$，类似于等值约束，此时有$g(x)$的梯度和$f(x)$的负梯度同向。

总结以上两种情况，可以构造拉格朗日函数来转换求解问题。

（1）优化问题是凸优化

对于不等式约束的优化，需要满足三个条件，满足这三个条件的解x*就是极小值点。

这三个条件就是著名的KKT条件，它整合了上面两种情况的条件。

特别注意：优化问题是凸优化的话，KKT条件就是极小值点（而且是全局极小）存在的充要条件。

 

（2）优化问题不是凸优化

约束问题不是凸优化，KKT条件只是极小值点的必要条件，不是充分条件，KKT点是驻点，是可能的极值点。也就是说，就算求得的满足KKT条件的点，也不一定是极小值点，只是说极小值点一定满足KKT条件。

不是凸优化的话，还需要附加多一个正定的条件才能变成充要条件，如下图所示

 

 

 3.既有等式约束也有不等式约束

 

 

 

 

 

 

 

 

参考文献：

【1】Lagrange Multipliers and the Karush-Kuhn-Tucker conditions

【2】拉格朗日对偶性