搜索入门练习题4 数的拆分 题解

Posted 2022-09-26 zifeiynoip

题目描述

任何一个大于 \(1\) 的自然数 \(n\) ，总可以拆分成若干个小于 \(n\) 的自然数之和。当 \(n = 4\) 时，总共有 \(4\) 种拆分方法：

• \(4=1+1+1+1\)
• \(4=1+1+2\)
• \(4=1+3\)
• \(4=2+2\)

现在给你一个数 \(n(1 \le n \le 20)\) ，请按顺序输出 \(n\) 的所有拆分方案。

输入格式

输入包含一个整数 \(n(1 \le n \le 20)\) 。

输出格式

输出 \(n\) 的所有拆分方案，每种方案占一行，输出格式见样例输出。

样例输入

4

样例输出

4=1+1+1+1
4=1+1+2
4=1+3
4=2+2

题目分析

首先我们分析一下，因为 \(n \le 20\) 所以 \(n\) 最多也只能拆分成 \(n\) 个数之和，所以我开一个大小比 \(20\) 大一点的数组 ans[22] 就可以存放所有的加数了。
然后我再开一个函数 void f(int id, int tmp) 用来存放 ans[] 数组的第 id 个值，而这里的 tmp 用于表示我目前还剩下的可以用的数。比如，我调用了 f(3, 5)，然后我将 ans[3] 设为了 2 （此时我将第 \(3\) 个加数设为了 \(2\) ），那我接下来就递归调用 f(4, 3) 了。因为我用掉了 \(5\) 里面的 \(2\) , 所以我剩下来的可以用的数就只剩下了 \(5-2=3\) 了。
然后我们再来看一下 f(id, tmp) ，表示我要在第 id 个位置选一个数放，但是这个数的范围是有限制的，假设我要在第 \(id\) 个位置放一个数 \(i\) ，那么这个 \(i\) 是有范围限制的，它需要满足一定的条件：

• 当 \(id>1\) 时，必须满足 \(i \ge ans[id-1]\) ，因为公式里面的每一个加数都必须大于等于前一个加数；
• 除非第 \(id\) 个位置的数是最后一个数（即将 \(i\) 作为 \(ans[id]\)），否则，为了满足 \(i\) 小于等于下一个加数的条件，必须使条件 \(i \le tmp-i\) （即 \(i \le \lfloor \cfrac n2 \rfloor\) ）满足。
• 当 \(id = 1\) 时，为了满足至少有两个加数的条件，必须满足 \(1 \le i \le \lfloor \cfrac n2 \rfloor\) 。

据此，我们可以编写深度优先搜索代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, ans[22];
void f(int id, int tmp)    // 当前放第id个数，剩余和为tmp
    if (id == 1)   // id==1时，i从1到tmp/2
        for (int i = 1; i <= tmp/2; i ++) 
            ans[id] = i;        // 将ans[id]设为i
            f(id+1, tmp-i);     // 然后进下一层搜索
        
    
    else   // id>1时，i从ans[id-1]到tmp/2
        for (int i = ans[id-1]; i <= tmp/2; i ++) 
            ans[id] = i;
            f(id+1, tmp-i);
        
        // id>1时可将tmp设为ans[id]，并输出方案
        ans[id] = tmp;
        cout << n << "=";
        for (int i = 1; i <= id; i ++) 
            cout << (i > 1 ? "+" : "") << ans[i];
        
        cout << endl;
    

int main() 
    cin >> n;
    f(1, n);    // 表示选第一个数的时候剩余数值为n
    return 0;