[CodeForces - 906D] Power Tower——扩展欧拉定理

Posted 2022-09-22 lfri

题意

给你 $n$ 个数 $w$ 和一个数 $p$，$q$个询问，每次询问一个区间 $[l,r] $,求 $w_l^(w_l+1^(w_l+2…^w_r))\mod p$.

分析

由扩展欧拉定理：

$$a^b\equiv \begincases a^b\%\phi(p)~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\ a^b\%\phi(p)+\phi(p)~~~~gcd(a,p)\neq1,b\geq\phi(p) \endcases~~~~~~~(mod~p)$$

与BZOJ 3384中，次方是无限的，所以说指数一定大于 $\varphi(p)$，但是这道题中指数不一定大于 $\varphi(p)$，需要重写 Mod。

phi需要记忆话，不然会超时。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 10;
ll n, p, a[maxn];
unordered_map<int, int>phi;

ll Mod(ll x, ll mod)

    return x < mod ? x : x % mod + mod;


ll euler_phi(ll n)

    ll m = (ll)sqrt(n + 0.5);
    ll ans = n;
    for (ll i = 2; i <= m; i++)
    
        if (n % i == 0)
        
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)  n /= i;        //除尽
        
    
    if (n > 1)  ans = ans / n * (n - 1);    //剩下的不为1,也是素数
    return ans;


ll get_phi(ll x)

    if(phi[x])  return phi[x];
    return phi[x] = euler_phi(x);


ll qpow(ll a, ll b, ll p)

    ll ret = 1;
    while(b)
    
        if(b&1) ret = Mod(ret * a, p);
        a = Mod(a * a ,p);
        b >>= 1;
    
    return ret;


ll cal(ll l, ll r, ll p)   //a^a^a..^a共b次 

   //printf("%lld %lld\n", t, p);
    //if(t == 1)  return Mod(a, p);
    if(l == r)  return Mod(a[l], p);
    if(p == 1)  return Mod(a[l], p);
    ll phip = get_phi(p);
    return qpow(a[l], cal(l+1, r, phip), p);  //第一类和第三类


int main()

    scanf("%I64d%I64d", &n, &p);
    for(int i = 1;i <= n;i++)  scanf("%I64d", &a[i]);
    int q;
    scanf("%d", &q);
    while(q--)
    
        ll l, r;
        scanf("%I64d%I64d", &l, &r);
        printf("%I64d\n", cal(l, r, p) % p);  //这个取模不能少
    
    return 0;

 

 

参考链接：

1. https://blog.csdn.net/Charlie_jilei/article/details/79252689

2. https://blog.csdn.net/qq_35914587/article/details/79883547