loj2537. 「PKUWC2018」Minimax

Posted 2022-09-22 psimonw

题意

略。

题解

首先设\(f_x, c\)表示以\(x\)为根的子树内，最终取到了\(c\)的概率。可以列出转移方程（假设有两个孩子\(u, v\)）
\[ \beginaligned f_x, c = & f_u, c * (p * v子树中最终权值小于c的概率 + (1 - p) * v子树中最终权值大于c的概率) \+ & f_v, c * (p * u子树中最终权值小于c的概率 + (1 - p) * u子树中最终权值大于c的概率) \\endaligned \]
然后就不会了……
考虑线段树合并（我真的不知道这东西复杂度是对的），每个节点开一个权值线段树。
合并的时候就考虑第一个加数就好了（第二个类似），而第一个加数相当于先继承过来，再乘上一些东西。
这些东西本来是可以在线段树上\(\mathcal O(\log n)\)分治查询的，但是在合并的时候只要用类似cdq的技巧，边合并，边统计即可。
具体来说，就是，现在要合并两个树上节点\(x, y\)的相同线段树区间节点，然后可以个区间划分成左右两块，节点\(x\)的叫做\(x_l\)和\(x_r\)，节点\(y\)的叫做\(y_l\)和\(y_r\)。
那么，\(x_l\)对\(y_r\)，\(y_r\)对\(x_l\)，\(x_r\)对\(y_l\)，\(y_l\)对\(x_r\)的影响都是确定的（即严格大于或小于的关系），然后累加这个影响就行了。（具体见实现）
线段树节点上只要维护前缀积的区间和即可（前缀积就相当于继承的意思），并且利用动态开点线段树就可以保证正确的复杂度。

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 300005, mod = 998244353, inv = 796898467;
int n, m, p, tot, ans, v[N], a[N], sz[N], ch[N][2];
int rt[N], lc[N * 20], rc[N * 20], s[N * 20], tag[N * 20];
void add (int x, int y) 
    ch[x][1] = y, swap(ch[x][0], ch[x][1]);

void mul (int x, int t) 
    s[x] = 1ll * s[x] * t % mod;
    tag[x] = 1ll * tag[x] * t % mod;

void pushdown (int x) 
    if (tag[x] != 1) 
        mul(lc[x], tag[x]);
        mul(rc[x], tag[x]);
        tag[x] = 1;
    

void insert (int &o, int l, int r, int k) 
    if (!o) 
        o = ++tot;
    
    s[o] = tag[o] = 1;
    if (l == r) 
        return;
    
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (k <= mid) 
        insert(lc[o], l, mid, k);
     else 
        insert(rc[o], mid + 1, r, k);
    

int merge (int x, int y, ll sumx = 0, ll sumy = 0) 
    if (!x || !y) 
        x ? mul(x, sumy) : mul(y, sumx);
        return x | y;
    
    pushdown(x), pushdown(y);
    int x0 = s[lc[x]], x1 = s[rc[x]], y0 = s[lc[y]], y1 = s[rc[y]];
    lc[x] = merge(lc[x], lc[y], ((1ll + mod - p) * x1 + sumx) % mod, ((1ll + mod - p) * y1 + sumy) % mod);
    rc[x] = merge(rc[x], rc[y], (1ll * p * x0 + sumx) % mod, (1ll * p * y0 + sumy) % mod);
    s[x] = (s[lc[x]] + s[rc[x]]) % mod;
    return x; 
 
int dfs (int x) 
    if (!ch[x][0]) 
        insert(rt[x], 1, m, lower_bound(a + 1, a + m + 1, v[x]) - a);
        return rt[x];
    
    int rl = dfs(ch[x][0]);
    if (!ch[x][1]) 
        return rl;
    
    int rr = dfs(ch[x][1]);
    p = v[x];
    return merge(rl, rr);

int calc (int o, int l, int r) 
    if (l == r) 
        return 1ll * l * a[l] % mod * s[o] % mod * s[o] % mod;
    
    pushdown(o);
    int mid = (l + r) >> 1; 
    return (calc(lc[o], l, mid) + calc(rc[o], mid + 1, r)) % mod; 

int main () 
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1, x; i <= n; ++i) 
        scanf("%d", &x);
        if (x) 
            add(x, i);
        
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        scanf("%d", &v[i]);
        if (!ch[i][0]) 
            a[++m] = v[i];
         else 
            v[i] = 1ll * v[i] * inv % mod;
        
    
    sort(a + 1, a + m + 1);
    printf("%lld\n",calc(dfs(1), 1, m));
    return 0;