线性基

Posted 2022-09-21 poweryao

线性基是一种数据结构，可以在\(logn\)的时间内计算出所有数的异或最大和以及异或最

小值。

1.线性基里的数都由原数异或得来

2.线性基里任意几个数异或起来的结果都不相等。

3.线性基异或出来的结果的一个集合，与原数异或出来的集合相等（0除外，由性

质2就决定了不会有0的产生）。

4.线性基里能放下的数时有限的，只有\(log_2n\)个数

P3812 【模板】线性基

这是一道模板

void insert(ll x)
    for(int i = 52 ; i >= 0 ; i-- )
        if( !( x >> ( 1ll * i ) ) ) continue ;
        if( !p[i] )
            p[i] = x ;
            break ;
        
        x = x ^ p[i] ;
    

P4570 [BJWC2011]元素

题意：给你\(n\)个数，每个数有编号和权值，当编号异或起来为\(0\)时，这些权值则无

用。

题解:我们考虑从大到小排序。如果这个元素不与前面的冲突，我们就放进去。这样贪

心为什么是对的。因为性质4。在有限的空间里我会选择最优的进去。

P3857 [TJOI2008]彩灯

这个题就比较裸了，把所有的数放进线性基中，看线性基中有多少个数，答案就是

\(2^size\)

P3292 [SCOI2016]幸运数字

P3292 [SCOI2016]幸运数字

就是倍增套线性基，每个倍增里面用一个线性基去维护，合并两个线性基就把一个线

性基里的所有元素全部插入另外一个线性基中。\(O(nlog_2^3)\)

P4151 [WC2011]最大XOR和路径

这就时一道妙妙的题了。我们考虑把图中所有的环的异或和求出来，如果存在一个路

径，其中一点到其中的一个环再回来，环到这个点相当于重算了。找环的时候只要时

刻保证与\(1\)连通即可。而1到\(n\)则随便找一条路径即可，因为如果存在另一条路径，

一定就构成了一个环。所以直接在线性基上找最大值就行。

CF938G Shortest Path Queries

上一题的升级版，支持加边，删边，询问\(x->y\)的最小异或路径。非常优秀。关于

加边和删边，我们可以直接套一个线段树，然后线段树分治就好。我们要求两个点之

间的最小异或路径，首先随意保留一棵生成树，加边的时候判个环。有环就丢进线性

基中，类似于上面那题。求出两点之间在树上的一条异或路径，最后丢进线性基里求

出最小值即可。求路径的异或和直接用并查集（因为在树上，每两个点之间的路径是

唯一的，所以我们给\(u->v\)时，直接给\(u\)的并查集的顶端向\(v\)的并查集的顶端连一

条\(val[u] (xor) val[v](xor) w\)），但是我们考虑到并查集要可撤销，就还得用按

秩合并。

这得附上代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std ;

#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
#define N 1300050
#define LL long long

int n , m , tot , top , q ;
int fa[N] , siz[N] ;
LL val[2*N] ;
int st[2*N] , L[2*N] , R[2*N] ;
LL p[100][40] ;

map<pair<int ,int>, int> M ;
vector<int> In[4*N] ;

struct node
    int u , v , l , r ;
    LL w ;
e[2*N];

inline LL read()

    LL x = 0 , f = 1 ; char c = getchar() ;
    while( c < '0' || c > '9' )  if( c == '-' ) f = -1 ; c = getchar() ; 
    while( c >= '0' && c <= '9' ) x = x * 10 + c - 48 , c = getchar() ;
    return x * f ;


int find(int x)
    if( fa[x] == x ) return x ;
    else return find( fa[x] ) ;


LL findval(int x)
    if( fa[x] == x ) return 0 ;
    else return val[x] ^ findval( fa[x] ) ;


void modify(int x , int l , int r , int ll , int rr , int k )
    if( ll > rr ) return ;
    if( l == ll && r == rr )
        In[x].push_back( k ) ;
        return ;
    
    int mid = ( l + r ) >> 1 ;
    if( rr <= mid ) modify( ls , l , mid , ll , rr , k ) ;
    else if( ll > mid ) modify( rs , mid + 1 , r , ll , rr , k ) ;
    else modify( ls , l , mid , ll , mid , k ) , modify( rs , mid + 1 , r , mid + 1 , rr , k ) ; 
    return ;


void ins(int x , int dep)
    for(int i = 0 ; i < In[x].size() ; i++ )
         LL now = In[x][i] ;
         int u = e[now].u , v = e[now].v ;
         int x = u , y = v ;
         LL w = e[now].w ;
         if( find(u) != find(v) )
            u = find( u ) , v = find( v ) ;
            if( siz[u] > siz[v] ) swap( u , v ) , swap( x , y ) ;
            val[u] = findval( x ) ^ findval( y ) ^ w ;
            fa[u] = v ; st[++top] = u ;
            if( siz[u] == siz[v] ) siz[v]++ ;
        
        else
            LL now1 = findval( x ) ^ findval( y ) ^ w ;
            for(LL j = 30 ; j >= 0 ; j-- )
                if( !( now1 >> j ) ) continue ;
                if( !p[dep][j] )
                    p[dep][j] = now1 ;
                    break ;
                
                now1 = now1 ^ p[dep][j] ;
            
        
    


void dele(int ed )
    while( top > ed )
        int u = st[top] ;
        siz[fa[u]] -= siz[u] ;
        val[u] = 0 , fa[u] = u ;
        top-- ;
    


void solve(int x , int l , int r , int dep )
    if( l > r ) return ;
    int now = top ;
    ins( x , dep ) ;
    if( l == r )
        LL ans = findval( L[l] ) ^ findval( R[l] ) ;
        for(int i = 30 ; i >= 0 ; i-- )
            if( ( ans ^ ( p[dep][i] ) ) < ans ) ans = ans ^ p[dep][i] ;
        
        printf("%lld\n" , ans ) ;
        dele( now ) ;
        return ;
    
    int mid = ( l + r ) >> 1 ;
    for(int i = 30 ; i >= 0 ; i-- ) p[dep + 1][i] = p[dep][i] ;
    solve( ls , l , mid , dep + 1 ) ;
    for(int i = 30 ; i >= 0 ; i-- ) p[dep + 1][i] = p[dep][i] ;
    solve( rs , mid + 1 , r , dep + 1 ) ;
    dele( now ) ;


signed main()

    n = read() , m = read() ;
    for(int i = 1 ; i <= m ; i++ )
        int u = read() , v = read() , w = read() ;
        e[++tot] = (node) u , v , 1 , -1 , w  ;
        M[ make_pair( u , v ) ] = tot ;
    
    q = read() ;
    int t = 0 ;
    while( q-- )
        int opt , u , v , w ;
        opt = read() ;
        if( opt == 1 )
            u = read() , v = read() , w = read() ;
            e[++tot] = (node) u , v , t + 1 , -1 , w  ;
            M[ make_pair( u , v ) ] = tot ;
        
        else
            if( opt == 2 )
                u = read() , v = read() ;
                int now = M[ make_pair( u , v ) ] ;
                e[now].r = t ;
                M[ make_pair( u , v ) ] = 0 ;
            
            else
                u = read() , v = read() ;
                L[++t] = u , R[t] = v ;
            
        
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++ ) fa[i] = i , siz[i] = 1 ;
    for(int i = 1 ; i <= tot ; i++ ) if( e[i].r == -1 ) e[i].r = t ;
    for(int i = 1 ; i <= tot ; i++ ) modify( 1 , 1 , t , e[i].l , e[i].r , i ) ;
    solve( 1 , 1 , t , 1 ) ;
    return 0 ;