P2501 [HAOI2006]数字序列

Posted 2022-09-21 lltyyc

传送门

推推式子，对于原数列 $a[i],a[j]$ 如果要保留它们，那么它们之间的数就要改成单调上升

显然能改成单调上升的条件是 $a[i]<a[j]$ 并且 $a[j]-a[i]>=j-i$ ，也就是 $a[j]-j>=a[i]-i$

所以设 $b[i]=a[i]-i$，那么对于第一问就只要求 $b[i]$ 的最长不下降子序列长度就是最多可以保留的数的个数

然后考虑第二个问题，对于 $b[i],b[j]$，如果它们处于最长不降子序列中相邻的两个位置，那么说明它们之间的数权值 $\notin [b[i],b[j]]$

然后发现合法的修改有很多种，试着推一下结论，然后发现把 $b[i],b[j]$ 之间修改的最优方案一定是左边一段全改成 $b[i]$，右边一段全改成 $b[j]$

考虑证明一下，假设某种最优方案中间有一段不在 $b[i]$ 或者 $b[j]$，对这一段位置中小于 $b[i]$ 的和大于 $b[j]$ 数的个数分类讨论一下

设这一段有 $x$ 个小于 $b[i]$ 的位置，$y$ 个大于 $b[j]$ 的位置

如果 $x<y$ ，那么把这一段整体改成 $b[j]$ ，代价改变量为 $\Delta val\cdot (x-y)$，显然代价更小

同理 $x>y$ ，那么把区间整体改成 $b[i]$，代价改变量为 $\Delta val\cdot (y-x)$，同样代价减小

如果 $x=y$ ，那么把区间移动不会影响答案的最优性

综上所述，最优的方案一定包括：左边一段全改成 $b[i]$，右边一段全改成 $b[j]$

然后直接枚举分界点 $k$ 转移即可，具体就是设 $g[i]$ 表示前 $i$ 位合法时，第 $i$ 位不修改的最优方案，那么有

$g[i]=g[j]+w$，其中 $i,j$ 满足 $f[i]=f[j]+1$ ，$w$ 随着 $k$ 而改变，直接 $vector$ 维护之前每个 $f$ 值的所有 $j$ 即可

因为数据随机所以不会 $T$ 飞，具体实现看代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()

    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)  if(ch==‘-‘) f=-1; ch=getchar(); 
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)  x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); 
    return x*f;

const int N=1e5+7,INF=1e9;
int n,a[N],b[N],d[N],c[N];
int f[N],t[N],Mx;
inline void add(int x,int v)  while(x<=n) t[x]=max(t[x],v),x+=x&-x; 
inline int ask(int x)  int res=0; while(x) res=max(res,t[x]),x-=x&-x; return res; 
ll sum[N],g[N];
vector <int> V[N];
int main()

    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        a[i]=read(); b[i]=a[i]-i;
        c[i]=d[i]=b[i]; sum[i]+=b[i];
    
    sort(d+1,d+n+1); for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=lower_bound(d+1,d+n+1,b[i])-d;//离散化
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        f[i]=ask(b[i])+1,add(b[i],f[i]);
        Mx=max(Mx,f[i]);
    
    ll Sl=0,Sr=0,Ans; V[0].push_back(0); c[0]=-INF;//注意边界条件
    memset(g,0x3f,sizeof(g)); Ans=g[0]; g[0]=0;//初始化
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        int len=V[f[i]-1].size();
        for(int j=0;j<len;j++)
        
            int &p=V[f[i]-1][j]; Sl=Sr=0;//Sl维护当前[p+1,k-1]都改成c[p]的代价,Sr维护当前[k,i]都改成c[i]的代价
            if(b[p]>b[i]) continue;
            for(int k=p+1;k<i;k++) Sr+=abs(c[i]-c[k]);
            for(int k=p+1;k<=i;k++)
            
                g[i]=min(g[i],g[p]+Sl+Sr);
                Sl+=abs(c[p]-c[k]); Sr-=abs(c[i]-c[k]);
            
        
        V[f[i]].push_back(i);
        if(f[i]==Mx)//更新答案
        
            Sl=0; for(int j=i+1;j<=n;j++) Sl+=abs(c[i]-c[j]);
            Ans=min(Ans,g[i]+Sl);
        
    
    printf("%d\n%lld\n",n-Mx,Ans);
    return 0;