JavaScript 数据结构与算法之美 - 冒泡排序插入排序选择排序

Posted 2022-09-21 biaochenxuying

1. 前言

算法为王。

想学好前端，先练好内功，只有内功深厚者，前端之路才会走得更远。

笔者写的 JavaScript 数据结构与算法之美 系列用的语言是 JavaScript ，旨在入门数据结构与算法和方便以后复习。

之所以把冒泡排序、选择排序、插入排序放在一起比较，是因为它们的平均时间复杂度都为 O(n²)。

请大家带着问题：为什么插入排序比冒泡排序更受欢迎 ？来阅读下文。

2. 如何分析一个排序算法

复杂度分析是整个算法学习的精髓。

• 时间复杂度: 一个算法执行所耗费的时间。
• 空间复杂度: 运行完一个程序所需内存的大小。

时间和空间复杂度的详解，请看 JavaScript 数据结构与算法之美 - 时间和空间复杂度。

学习排序算法，我们除了学习它的算法原理、代码实现之外，更重要的是要学会如何评价、分析一个排序算法。

分析一个排序算法，要从 执行效率、内存消耗、稳定性 三方面入手。

2.1 执行效率

1. 最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度

我们在分析排序算法的时间复杂度时，要分别给出最好情况、最坏情况、平均情况下的时间复杂度。
除此之外，你还要说出最好、最坏时间复杂度对应的要排序的原始数据是什么样的。

2. 时间复杂度的系数、常数 、低阶

我们知道，时间复杂度反应的是数据规模 n 很大的时候的一个增长趋势，所以它表示的时候会忽略系数、常数、低阶。

但是实际的软件开发中，我们排序的可能是 10 个、100 个、1000 个这样规模很小的数据，所以，在对同一阶时间复杂度的排序算法性能对比的时候，我们就要把系数、常数、低阶也考虑进来。

3. 比较次数和交换（或移动）次数

这一节和下一节讲的都是基于比较的排序算法。基于比较的排序算法的执行过程，会涉及两种操作，一种是元素比较大小，另一种是元素交换或移动。

所以，如果我们在分析排序算法的执行效率的时候，应该把比较次数和交换（或移动）次数也考虑进去。

2.2 内存消耗

也就是看空间复杂度。

还需要知道如下术语：

• 内排序：所有排序操作都在内存中完成；
• 外排序：由于数据太大，因此把数据放在磁盘中，而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行；
• 原地排序：原地排序算法，就是特指空间复杂度是 O(1) 的排序算法。
  其中，冒泡排序就是原地排序算法。

2.3 稳定性

• 稳定：如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变。
  比如： a 原本在 b 前面，而 a = b，排序之后，a 仍然在 b 的前面；
• 不稳定：如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序改变。
  比如：a 原本在 b 的前面，而 a = b，排序之后， a 在 b 的后面；

3. 冒泡排序

思想

• 冒泡排序只会操作相邻的两个数据。
• 每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。
• 一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复 n 次，就完成了 n 个数据的排序工作。

特点

• 优点：排序算法的基础，简单实用易于理解。
• 缺点：比较次数多，效率较低。

实现

// 冒泡排序（未优化）
const bubbleSort = arr => 
    console.time('改进前冒泡排序耗时');
    const length = arr.length;
    if (length <= 1) return;
    // i < length - 1 是因为外层只需要 length-1 次就排好了，第 length 次比较是多余的。
    for (let i = 0; i < length - 1; i++) 
        // j < length - i - 1 是因为内层的 length-i-1 到 length-1 的位置已经排好了，不需要再比较一次。
        for (let j = 0; j < length - i - 1; j++) 
            if (arr[j] > arr[j + 1]) 
                const temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
            
        
    
    console.log('改进前 arr :', arr);
    console.timeEnd('改进前冒泡排序耗时');
;

优化：当某次冒泡操作已经没有数据交换时，说明已经达到完全有序，不用再继续执行后续的冒泡操作。

// 冒泡排序（已优化）
const bubbleSort2 = arr => 
    console.time('改进后冒泡排序耗时');
    const length = arr.length;
    if (length <= 1) return;
    // i < length - 1 是因为外层只需要 length-1 次就排好了，第 length 次比较是多余的。
    for (let i = 0; i < length - 1; i++) 
        let hasChange = false; // 提前退出冒泡循环的标志位
        // j < length - i - 1 是因为内层的 length-i-1 到 length-1 的位置已经排好了，不需要再比较一次。
        for (let j = 0; j < length - i - 1; j++) 
            if (arr[j] > arr[j + 1]) 
                const temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
                hasChange = true; // 表示有数据交换
            
        

        if (!hasChange) break; // 如果 false 说明所有元素已经到位，没有数据交换，提前退出
    
    console.log('改进后 arr :', arr);
    console.timeEnd('改进后冒泡排序耗时');
;

测试

// 测试
const arr = [7, 8, 4, 5, 6, 3, 2, 1];
bubbleSort(arr);
// 改进前 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
// 改进前冒泡排序耗时: 0.43798828125ms

const arr2 = [7, 8, 4, 5, 6, 3, 2, 1];
bubbleSort2(arr2);
// 改进后 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
// 改进后冒泡排序耗时: 0.318115234375ms

分析

• 第一，冒泡排序是原地排序算法吗 ？
  冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空间复杂度为 O(1)，是一个原地排序算法。
• 第二，冒泡排序是稳定的排序算法吗 ？
  在冒泡排序中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。
  为了保证冒泡排序算法的稳定性，当有相邻的两个元素大小相等的时候，我们不做交换，相同大小的数据在排序前后不会改变顺序。
  所以冒泡排序是稳定的排序算法。
• 第三，冒泡排序的时间复杂度是多少 ？
  最佳情况：T(n) = O(n)，当数据已经是正序时。
  最差情况：T(n) = O(n²)，当数据是反序时。
  平均情况：T(n) = O(n²)。

动画

4. 插入排序

插入排序又为分为 直接插入排序 和优化后的 拆半插入排序 与 希尔排序，我们通常说的插入排序是指直接插入排序。

一、直接插入

思想

一般人打扑克牌，整理牌的时候，都是按牌的大小（从小到大或者从大到小）整理牌的，那每摸一张新牌，就扫描自己的牌，把新牌插入到相应的位置。

插入排序的工作原理：通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。

步骤

• 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序；
• 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描；
• 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置；
• 重复步骤 3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；
• 将新元素插入到该位置后；
• 重复步骤 2~5。

实现

// 插入排序
const insertionSort = array => 
    const len = array.length;
    if (len <= 1) return

    let preIndex, current;
    for (let i = 1; i < len; i++) 
        preIndex = i - 1; //待比较元素的下标
        current = array[i]; //当前元素
        while (preIndex >= 0 && array[preIndex] > current) 
            //前置条件之一: 待比较元素比当前元素大
            array[preIndex + 1] = array[preIndex]; //将待比较元素后移一位
            preIndex--; //游标前移一位
        
        if (preIndex + 1 != i) 
            //避免同一个元素赋值给自身
            array[preIndex + 1] = current; //将当前元素插入预留空位
            console.log('array :', array);
        
    
    return array;
;

测试

// 测试
const array = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("原始 array :", array);
insertionSort(array);
// 原始 array:   ?[5, 4, 3, 2, 1]
// array: ?      [4, 5, 3, 2, 1]
// array: ?      [3, 4, 5, 2, 1]
// array:       ?[2, 3, 4, 5, 1]
// array: ?      [1, 2, 3, 4, 5]

分析

• 第一，插入排序是原地排序算法吗 ？
  插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间，所以空间复杂度是 O(1)，所以，这是一个原地排序算法。
• 第二，插入排序是稳定的排序算法吗 ？
  在插入排序中，对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现元素的后面，这样就可以保持原有的前后顺序不变，所以插入排序是稳定的排序算法。
• 第三，插入排序的时间复杂度是多少 ？
  最佳情况：T(n) = O(n)，当数据已经是正序时。
  最差情况：T(n) = O(n²)，当数据是反序时。
  平均情况：T(n) = O(n²)。

动画

二、拆半插入

插入排序也有一种优化算法，叫做拆半插入。

思想

折半插入排序是直接插入排序的升级版，鉴于插入排序第一部分为已排好序的数组, 我们不必按顺序依次寻找插入点, 只需比较它们的中间值与待插入元素的大小即可。

步骤

• 取 0 ~ i-1 的中间点 ( m = (i-1)>>1 )，array[i] 与 array[m] 进行比较，若 array[i] < array[m]，则说明待插入的元素 array[i] 应该处于数组的 0 ~ m 索引之间；反之，则说明它应该处于数组的 m ~ i-1 索引之间。
• 重复步骤 1，每次缩小一半的查找范围，直至找到插入的位置。
• 将数组中插入位置之后的元素全部后移一位。
• 在指定位置插入第 i 个元素。

注：x>>1 是位运算中的右移运算，表示右移一位，等同于 x 除以 2 再取整，即 x>>1 == Math.floor(x/2) 。

// 折半插入排序
const binaryInsertionSort = array => 
    const len = array.length;
    if (len <= 1) return;

    let current, i, j, low, high, m;
    for (i = 1; i < len; i++) 
        low = 0;
        high = i - 1;
        current = array[i];

        while (low <= high) 
            //步骤 1 & 2 : 折半查找
            m = (low + high) >> 1; // 注: x>>1 是位运算中的右移运算, 表示右移一位, 等同于 x 除以 2 再取整, 即 x>>1 == Math.floor(x/2) .
            if (array[i] >= array[m]) 
                //值相同时, 切换到高半区，保证稳定性
                low = m + 1; //插入点在高半区
             else 
                high = m - 1; //插入点在低半区
            
        
        for (j = i; j > low; j--) 
            //步骤 3: 插入位置之后的元素全部后移一位
            array[j] = array[j - 1];
            console.log('array2 :', JSON.parse(JSON.stringify(array)));
        
        array[low] = current; //步骤 4: 插入该元素
    
    console.log('array2 :', JSON.parse(JSON.stringify(array)));
    return array;
;

测试

const array2 = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log('原始 array2:', array2);
binaryInsertionSort(array2);
// 原始 array2:  [5, 4, 3, 2, 1]
// array2 : ??  [5, 5, 3, 2, 1]
// array2 : ??  [4, 5, 5, 2, 1]
// array2 : ??  [4, 4, 5, 2, 1]
// array2 : ??  [3, 4, 5, 5, 1]
// array2 : ??  [3, 4, 4, 5, 1]
// array2 : ??  [3, 3, 4, 5, 1]
// array2 : ??  [2, 3, 4, 5, 5]
// array2 : ??  [2, 3, 4, 4, 5]
// array2 : ??  [2, 3, 3, 4, 5]
// array2 : ??  [2, 2, 3, 4, 5]
// array2 : ??  [1, 2, 3, 4, 5]

注意：和直接插入排序类似，折半插入排序每次交换的是相邻的且值为不同的元素，它并不会改变值相同的元素之间的顺序，因此它是稳定的。

三、希尔排序

希尔排序是一个平均时间复杂度为 O(nlogn) 的算法，会在下一个章节和 归并排序、快速排序、堆排序 一起讲，本文就不展开了。

5. 选择排序

思路

选择排序算法的实现思路有点类似插入排序，也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。

步骤

1. 首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置。
2. 再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。
3. 重复第二步，直到所有元素均排序完毕。

实现

const selectionSort = array => 
    const len = array.length;
    let minIndex, temp;
    for (let i = 0; i < len - 1; i++) 
        minIndex = i;
        for (let j = i + 1; j < len; j++) 
            if (array[j] < array[minIndex]) 
                // 寻找最小的数
                minIndex = j; // 将最小数的索引保存
            
        
        temp = array[i];
        array[i] = array[minIndex];
        array[minIndex] = temp;
        console.log('array: ', array);
    
    return array;
;

测试

// 测试
const array = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log('原始array:', array);
selectionSort(array);
// 原始 array: ?[5, 4, 3, 2, 1]
// array: ?      [1, 4, 3, 2, 5]
// array: ?      [1, 2, 3, 4, 5]
// array:       ?[1, 2, 3, 4, 5]
// array: ?      [1, 2, 3, 4, 5]

分析

• 第一，选择排序是原地排序算法吗 ？
  选择排序空间复杂度为 O(1)，是一种原地排序算法。
• 第二，选择排序是稳定的排序算法吗 ？
  选择排序每次都要找剩余未排序元素中的最小值，并和前面的元素交换位置，这样破坏了稳定性。所以，选择排序是一种不稳定的排序算法。
• 第三，选择排序的时间复杂度是多少 ？
  无论是正序还是逆序，选择排序都会遍历 n² / 2 次来排序，所以，最佳、最差和平均的复杂度是一样的。
  最佳情况：T(n) = O(n²)。
  最差情况：T(n) = O(n²)。
  平均情况：T(n) = O(n²)。

动画

6. 解答开篇

为什么插入排序比冒泡排序更受欢迎 ？

冒泡排序和插入排序的时间复杂度都是 O(n²)，都是原地排序算法，为什么插入排序要比冒泡排序更受欢迎呢 ？

这里关乎到 逆序度、满有序度、有序度。

• 有序度：是数组中具有有序关系的元素对的个数。
  有序元素对用数学表达式表示就是这样：

有序元素对：a[i] <= a[j], 如果 i < j。

• 满有序度：把完全有序的数组的有序度叫作 满有序度。

• 逆序度：正好跟有序度相反（默认从小到大为有序）。

逆序元素对：a[i] > a[j], 如果 i < j。

同理，对于一个倒序排列的数组，比如 6，5，4，3，2，1，有序度是 0；
对于一个完全有序的数组，比如 1，2，3，4，5，6，有序度就是 **n*(n-1)/2** ，也就是满有序度为 15。

原因

• 冒泡排序不管怎么优化，元素交换的次数是一个固定值，是原始数据的逆序度。
• 插入排序是同样的，不管怎么优化，元素移动的次数也等于原始数据的逆序度。
• 但是，冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂，冒泡排序需要 3 个赋值操作，而插入排序只需要 1 个，数据量一旦大了，这差别就非常明显了。

7. 复杂性对比

复杂性对比

名称	平均	最好	最坏	空间	稳定性	排序方式
冒泡排序	O(n2)	O(n)	O(n2)	O(1)	Yes	In-place
插入排序	O(n2)	O(n)	O(n2)	O(1)	Yes	In-place
选择排序	O(n2)	O(n2)	O(n2)	O(1)	No	In-place

算法可视化工具

这里推荐一个算法可视化工具。

算法可视化工具 algorithm-visualizer 是一个交互式的在线平台，可以从代码中可视化算法，还可以看到代码执行的过程。

效果如下图。

8. 最后

喜欢就点个小星星吧。

文中所有的代码及测试事例都已经放到我的 GitHub 上了。

参考文章：

• 数据结构与算法之美
• 十大经典排序算法总结（JavaScript描述）
• JS中可能用得到的全部的排序算法