[SHOI2015]超能粒子炮·改

Posted 2022-09-18 bcoier

首先我们要明确题目要我们求的是这个式子：
\[\sum_i = 0^kC_n^i\]

我们先从部分分看起：

10分

预处理出组合数暴力算就是了。复杂度\(O(N^2)\)

50分 --- 1

由于我们要求的东西是在杨辉三角的一行，所以我们可以递推求出改行组合数，递推式为\(C_n^m + 1 = C_n^m\ *\ \fracn - mm + 1\)，证明的话就用组合数的定义式即可。复杂度\(O(k)\)

50分 --- 2

这一档对正解有一定启发意义
跟据Lucas定理（什么你还不会Lucas？？？）
\[C_n^i\ \%\ p = C_n\ \%\ p^i \ \%\ p\ *\ C_n\ /\ p^i \ /\ p\ \%\ p\]
我们可以将原式化成：
\[\sum_i = 0^k\ C_n\ \%\ p^i \ \%\ p\ *\ C_n\ /\ p^i \ /\ p\ \%\ p\]

等一下，\(i\ /\ p\)和\(n\ /\ p\)有循环节， \(i\ /\ p\)和\(n\ /\ p\)在很多时候都是相等的啊！

于是我们可以自然地想到：记
\[f[j] = \sum_i = 0^j\ C_n\ \%\ p^i \ \%\ p\ \%\ p\]

由于p不是很大，所以我们可以预处理出f数组

于是我们的复杂度可以从\(O(t\ *\ 10^18\ *\\)卢卡斯复杂度\()\)优化成\(O(t\ *\ k\ *\\)卢卡斯复杂度\(\ /\ 2333)\)

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define int long long
il int read() 
    re int x = 0, f = 1; re char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9')  if(c == '-') f = -1; c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
    return x * f;

#define p 2333
#define rep(i, s, t) for(re int i = s; i <= t; ++ i)
#define maxn 3000
int n, m, c[maxn][maxn], f[maxn][maxn], ans, k;
il int Lucas(int n, int m) 
    if(!m || n == m) return 1;
    if(n < m) return 0;
    return Lucas(n / p, m / p) * c[n % p][m % p] % p;

signed main() 
    c[0][0] = f[0][0] = 1;
    rep(i, 1, p) 
        f[i][0] = c[i][0] = c[i][i] = 1;
        rep(j, 1, i - 1) c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % p;
        rep(j, 1, i) f[i][j] = (f[i][j - 1] + c[i][j]) % p;
    
    int T = read();
    while(T --) 
        n = read(), m = read(), ans = k = 0;
        for(; k <= m - p; k += p) ans = (ans + f[n % p][n % p] * Lucas(n / p, k / p)) % p;
        printf("%lld\n", (ans + Lucas(n / p, k / p) * f[n % p][min(n % p, m % p)]) % p);
    
    return 0;

100分

我们再来思考我们50-2慢在了哪里？

我们在算

for(; k <= m - p; k += p) ans = (ans + f[n % p][n % p] * Lucas(n / p, k / p)) % p;

的时候时间复杂度开销很大，但是我们如果提出\(f[n\ \%\ p][n\ \%\ p]\)，柿子就成
\[\sum_i = 0^m\ /\ pC_n / p^i\]

哎，这部可以递归算吗？

所以我们可以推出：

\[F(i, j) = f[n\ \%\ p][n\ \%\ p] * F(\fracnp, \fracmp - 1) + Lucas(\fracnp, \fracmp) * f[n\ \%\ p][min(n\ \%\ p, m\ \%\ p)]\]

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define int long long
il int read() 
    re int x = 0, f = 1; re char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9')  if(c == '-') f = -1; c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
    return x * f;

#define p 2333
#define rep(i, s, t) for(re int i = s; i <= t; ++ i)
#define maxn 3000
int n, m, c[maxn][maxn], f[maxn][maxn];
il int Lucas(int n, int m) 
    if(!m || n == m) return 1;
    if(n < m) return 0;
    return Lucas(n / p, m / p) * c[n % p][m % p] % p;

il int F(int n, int m) 
    if(m == -1) return 0;
    if(!m) return 1;
    if(n < p) return f[n][m];
    return (f[n % p][n % p] * F(n / p, m / p - 1) + Lucas(n / p, m / p) * f[n % p][min(n % p, m % p)]) % p;

signed main() 
    c[0][0] = f[0][0] = 1;
    rep(i, 1, p) 
        f[i][0] = c[i][0] = c[i][i] = 1;
        rep(j, 1, i - 1) c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % p;
        rep(j, 1, p) f[i][j] = (f[i][j - 1] + c[i][j]) % p;
    
    int T = read();
    while(T --) 
        n = read(), m = read();
        printf("%lld\n", F(n, m));
    
    return 0;