后缀排序

Posted 2022-09-18 bcoier

后缀数组是一个思路较为清晰，代码十分玄学的操作，建议大家按照代码模拟一下样例，理解每一步操作的意义

后缀数组的作用是将长度为N的字符串的N个后缀来进行排序

我们直接排序的复杂度是\(O(N^2logN)\)

后缀数组常用方法是倍增+基数排序算法：

1.基数排序

我们先来看一下代码：（默认升序排列）

//rep(i, a, b)是正序从a-b枚举
//drep(i, a, b)是倒序从a-b枚举
//a数组为基数排序辅助数组，即为一个桶
//rk数组为基数排序的第一关键字
//tp第二关键字中，排名为i的数的位置
//sa数组可以在此处理解为排完序后排名为i的数对的位置
il void Qsort() 
    rep(i, 1, m) a[i] = 0;//
    rep(i, 1, n) ++ a[rk[i]];
    rep(i, 1, m) a[i] += a[i - 1];
    //记录前缀和以后，a[i]的意义是rak为i的数最大可以到哪里
    drep(i, 1, n) sa[a[rk[tp[i]]] --] = tp[i];
    //-- a的意义是减少了一个位置，所以a最大可以到的位置往前移一个

我们来模拟一下，假设我们要对一个数组进行基数排序

其中第一关键字为：\(1\ 3\ 2\ 1\ 4\ 3\ 1\ 2\)

对应第二关键字为：\(3\ 2\ 1\ 2\ 3\ 3\ 1\ 3\)

所以对应\(tp\)数组为：\(3\ 7\ 2\ 4\ 1\ 5\ 6\ 8\)

第一步

我们清空桶

第二步

我们将第一关键字压入桶中，得到a数组：\(3\ 2\ 2\ 1\)

第三步

我们将a数组记录前缀和，得到a数组：\(3\ 5\ 7\ 8\)

然后我们就可以发现一个奇妙的性质

对与第一关键字为1的数对，他们的排名为\(1-3\)

对与第一关键字为2的数对，他们的排名为\(4-5\)

对与第一关键字为3的数对，他们的排名为\(6-7\)

对与第一关键字为4的数对，他们的排名为\(8-8\)

所以从某种意义上来说，我们已经对第一关键字排好了序

第四步

我们从前往后倒序枚举

首先，最后一个数对的第二关键字为8，第8个数对的第一关键字为2，2的桶现在为5，所以排名为5的位置是第8个

然后2的桶减一，因为第五个位置已经被占用，所以第一关键字为2的数对排名为\(4-4\)

第7个数对的第二关键字为6，第六个数的第一关键字的桶为7个，于是排名为7的位置是第6个

以此类推，我们可以拍好序，最后的sa数组为\(7\ 4\ 1\ 3\ 8\ 2\ 6\ 5\)

2.倍增

定义：

\(1.\ <a, b>\)为以a为第一关键字，b为第二关键字进行基数排序）
\(2.\ s[i]\)表示原数组的第i位字符

\(3.\ i-\)后缀表示对字符串S的每个后缀，取左边i个字符，得到一个i-后缀

\(4.\ rk[i][j]\)表示第j位上的i-后缀的排名

操作：

我们可以先按\(<i, s[i]>\)进行基数排序，得到\(rk[1][i]\)

再按照\(<rk[1][i], rk[1][i + 1]>\)进行基数排序，得到\(rk[2][i]\)

因为是倍增，所以我们可以通过\(<rk[2][i], rk[2][i + 2]>\)进行基数排序，得到\(rk[4][i]\)

同理，我们也可以用\(<rk[4][i], rk[4][i + 4]>\)进行基数排序，得到\(rk[8][i]\)

当所有\(rk[2^k][i]\)互不相同，排序结束

代码如下（倍增部分代码有详细注释，就不模拟了，各位最好手动模拟，理解每一行代码，注意在模拟的时候分清楚rk[i]和sa[i]的区别，一定要先清楚每一个数组的意义！！！）：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define debug printf("Now is Line : %d\n",__LINE__)
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin);freopen(#a".out","w",stdout)
il int read() 
    re int x = 0, f = 1; re char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9')  if(c == '-') f = -1; c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
    return x * f;

#define rep(i, s, t) for(re int i = s; i <= t; ++ i)
#define drep(i, s, t) for(re int i = t; i >= s; -- i)
#define _ 1000005 
int n, m, a[_], sa[_], rk[_], tp[_];
char c[_];
/*
sa[i]：排名为i的后缀的位置
rk[i]：第i个位置开始的后缀的排名，作为基数排序的第一关键字
即sa[rk[i]] = rk[sa[i]] = i
tp[i]：第二关键字中，排名为i的数的位置
a[i]：有多少个元素排名为i
c[i]：原输入数组 
*/
il int get(char c) 
    if(c >= '0' && c <= '9') return c - '0' + 1;
    if(c >= 'A' && c <= 'Z') return c - 'A' + 11;
    return c - 'a' + 37;

il void init() 
    rep(i, 1, n) rk[i] = get(c[i]), tp[i] = i;

il void print() 
    rep(i, 1, n) printf("%d ", sa[i]);

il void Qsort() 
    rep(i, 1, m) a[i] = 0;
    rep(i, 1, n) ++ a[rk[i]];
    rep(i, 1, m) a[i] += a[i - 1];
    drep(i, 1, n) sa[a[rk[tp[i]]] --] = tp[i];

il void get_sort() 
    for(re int w = 1, p = 0; p < n && w <= n; m = p, p = 0, w <<= 1) 
        //p在此时的意义是最高出现的排名以及一个计数器 
        //p < n的意义是如果当前最大排名== n则无继续排序的意义 
        rep(i, n - w + 1, n) tp[++ p] = i;
        //这里p的定义只是一个计数器 
        //tp[i]表示第二关键字中，排名为i的数的位置
        //因为i - w + 1后面没有第二关键字，所以要补0 
        //所以要设成极小值排在前面
        rep(i, 1, n) if(sa[i] > w) tp[++ p] = sa[i] - w;
        //在第一关键字中排名越靠前，表示应该排在前面
        Qsort(), swap(rk, tp), p = rk[sa[1]] = 1;
        //我们现在更新rk，tp已经无用，先备份，用memcpy也行
        //注意到一个性质 : rk[sa[i]] = i
        rep(i, 2, n) rk[sa[i]] = (tp[sa[i]] == tp[sa[i - 1]] && tp[sa[i] + w] == tp[sa[i - 1] + w]) ? p : ++ p;
        //注意tp和rk已经交换，所以这个判断的意思是：
        //如果两个后缀还相等，则排名不变，否则++
    

int main() 
    scanf("%s", c + 1), n = strlen(c + 1), m = 62;
    init(), Qsort(), get_sort(), print();
    return 0;