在频率域中直接生成滤波器

Posted 2022-09-16 libai123456

除了之前说的从空间滤波器中获得频率域滤波器，还可以从频率域中直接生成滤波器，这些滤波器被规定为距滤波器中心点的距离不同的函数。可以创建一个用于实现频率滤波器的网格数组，最主要的是需要计算任何点到频率矩形中一个指定点的距离函数，FFT（快速傅里叶）算法是假设变换的原点位于频率矩形的左上角，因此需要将原点平移到频率矩形的中心，用fftshift。网格数组如下：

%(频域滤波函数) 提供了距离计算及其所需的网格数组
function [U,V] = dftuv(M,N)
u=0:(M-1);
v=0:(N-1);
idx = find(u>M/2);
u(idx) = u(idx)-M;
idy=find(v>N/2);
v(idy)=v(idy)- N;
[V,U] = meshgrid(v,u);
end

 

一、低通（平滑）频率域滤波器

常见的频率域低通滤波器有三个，理想低通滤波器（ILPF），巴特沃斯低通滤波器（BLPF），高斯低通滤波器（GLPF）。

1）理想低通滤波器的传递函数如下：

其中，D0为正数，D(u,v)为点（u,v）到滤波器中心的距离，满足D(u,v)=D0的点的轨迹为一个圆。如果用滤波器乘以一幅图像的傅里叶变换，我们会看到一个理想滤波器会切断（乘以0）该圆之外的所有F(u,v)分量，而保留圆上和圆内的所有分量不变（乘以1）。

可以用之前的mesh将滤波器显示出来：

             

2）n阶巴特沃斯低通滤波器，在距离滤波器中心D0处具有截止频率，传递函数为：

与理想低通滤波器不同的是，巴特沃斯低通滤波器的传递函数在D0点并没有一个尖锐的不连续，对于具有平滑传递函数的滤波器，通常将截止频率轨迹定义在H(u,v)降低为其最大值的一个指定的比例的点处。用mesh同样可以将该滤波器显示出来：

                  

3）高斯低通滤波器的传递函数如下：

其中，为标准差。该滤波器可以用mesh显示出来

                   

4）低通滤波器的例子

用高斯低通滤波器对一幅500*500的图像进行滤波，效果如下：

该例子的代码如下：

%用高斯低通滤波器进行滤波
f=imread(‘G:\\数字图像处理（冈萨雷斯）\\DIP3E_CH04_Original_Images\\DIP3E_Original_Images_CH04\\Fig0441(a)(characters_test_pattern).tif‘);
subplot(221);imshow(f); title(‘原图‘)
f = im2double(f);
%[f,revertclass] = tofloat(f);
PQ = paddedsize(size(f));
[U,V] = dftuv(PQ(1),PQ(2));
D = hypot(U,V);
D0 = 0.05*PQ(2);
F = fft2(f,PQ(1),PQ(2));
H = exp(-(D.^2)/(2*(D0^2)));
g = dftfilt(f,H);
g = im2uint8(g);
%g = revertclass(g);
subplot(222);imshow(fftshift(H));  title(‘高斯低通滤波器图像‘); %显示滤波器图像
subplot(223);imshow(log(1+abs(fftshift(F))),[]);title(‘滤波器的谱‘);
subplot(224);imshow(g);title(‘滤波器后的图像‘)

　各种滤波器的传递函数不同，但是滤波的过程是一样的，因此，可以将这几种滤波器封装成一个函数，如下：

%频率域低通滤波函数,生成几个低通滤波器的传递函数
function [H,D] = lpfilter(type,M,N,D0,n)
[U,V] = dftuv(M,N);
D = sqrt(U.^2+V.^2);
switch type
    case ‘ideal‘
        H=double(D<=D0);
    case ‘btw‘
        if nargin ==4
            n=1;
        end
        H=1./(1+(D./D0).^(2*n));
    case ‘gaussian‘
        H=exp(-(D.^2)./(2*(D0^2)));
    otherwise
        error(‘unkown filter type‘);
        
end