常系数齐次线性递推

Posted 2022-09-09 mleautomaton

常系数齐次线性递推

名字的来由大概是系数是常数，次数相同的线性递推。

形式

形如
\[ a_n=\sum_i=1^ka_n-i*b_i \]

题目

现在给你\(a,b\)数组，求\(a_n\)，满足\(n \ge k\)。

Newbie(我)的做法

直接暴力枚举，复杂度\(\Theta(n*k)\)。

Naive(HYJ)的做法

考虑每一次转移都是相同的，所以可以把\(b\)写到矩阵里面然后矩阵快速幂转移。

Master(_zzy)的做法

前置知识

特征多项式和特征方程（自行百度）

推导

现在我们要求的就是\(b^n\)，一般的矩阵快速幂复杂度\(k^3logn\)，所以我们需要奇技淫巧。

\(b^n=\phi(B)*P(B)+Q(B)\)，又因为\(\phi(B)=0\)，所以\(Q(B)=b^n\)。

此时我们要求的就是\(Q(B)\)，然后它是一个和\(\phi(B)\)拥有同样项数\(k\)的多项式，所以复杂度变成了\(k^2log^2n\)。

还可以进一步优化，即\(Q(B)\)每一次长度会\(*2\)，但是我们可以只去前\(k\)位，把后面的系数补上来，这样就做完了。

于是我们推出了一些形如
\[ a_n=\sum_i=1^ka_n-i*b_i \]
的式子的快一点点的求法！

BZOJ4161 Shlw loves matrixI

直接按照上文的方法做就行了。但是由于\(BZOJ\)机子太快了我\(TLE(80s)\)了。

如果是\(CJ\)的同学可以去\(MOJ\)提交（当然如果你像\(\texttthyj\)一样快就没必要了）