Codeforces 722E 组合数学 DP

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Codeforces 722E 组合数学 DP相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题意:有一个n * m的棋盘,你初始在点(1, 1),你需要去点(n, m)。你初始有s分,在这个棋盘上有k个点,经过一次这个点分数就会变为s / 2(向上取整),问从起点到终点的分数的数学期望是多少?

思路:按照套路,先把这k个点按照pair的方式进行排序,设dp[i][j]为从起点到点i之前经过了至少j个减分点,到点i的数学期望。那么所有在它之前的可以向它转移的点向它转移。那么dp[i][j] = Σ(dp[u][j - 1] - dp[u][j]) * g(u, i)。其中g(u, i)是u, i之间没有限制条件的走法数目,用组合数学的方法计算即可。这样相当于是前面恰好走过j个点 + 可能走过大于一个点的方式转移过来,这样可以保证计数的不重不漏。

代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define db double
#define LL long long
#define pii pair<int, int>
using namespace std;
const int maxn = 200010;
const LL mod = 1e9 + 7;
LL dp[2010][40];
pii a[2010];
LL v[maxn], inv[maxn];
LL qpow(LL x, LL y) 
	LL ans = 1;
	for (; y; y >>= 1) 
		if(y & 1) ans = (ans * x) % mod;
		x = (x * x) % mod;
	
	return ans;

void init(int n) 
	v[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
		v[i] = (v[i - 1] * i) % mod;
	
	inv[n] = qpow(v[n], mod - 2);
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--) 
		inv[i] = (inv[i + 1] * (i + 1)) % mod;
	

LL C(LL n, LL m) 
	return (((v[n] * inv[m]) % mod) * inv[n - m]) % mod;

LL cal(int x, int y) 
	LL tmp = abs(a[y].first - a[x].first), tmp1 = tmp + (a[y].second - a[x].second);
	return C(tmp1, tmp);

LL b[50];
int main() 
	int n, m, k, t;
	scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &k, &t);
	init(n + m);
	for (int i = 1; i <= k; i++) 
		scanf("%d%d", &a[i].first, &a[i].second);
	
	int lim = 0;
	while(t > 1) 
		b[++lim] = t;
		t = (t + 1) / 2;
	
	b[++lim] = 1;
	b[lim + 1] = 1;
	sort(a + 1, a + 1 + k);
	k++;
	a[k] = make_pair(n, m);
	for (int i = 1; i <= k; i++) 
		dp[i][0] = C(a[i].first + a[i].second - 2, a[i].first - 1);
	
	LL ans = 0;
	for (int j = 1; j <= lim; j++) 
		for (int i = 1; i <= k; i++) 
			for (int t = 1; t < i; t++) 
				if(a[t].first <= a[i].first && a[t].second <= a[i].second) 
					LL tmp1 = (dp[t][j - 1] - dp[t][j] + mod) % mod;
					LL tmp2 = cal(t, i);
					assert(tmp1 >= 0);
					assert(tmp2 >= 0);
					dp[i][j] += (tmp1 * tmp2) % mod;
					dp[i][j] %= mod;
				
			
		
	
	for (int i = 0; i <= lim; i++) 
		ans = (ans + (((dp[k][i] - dp[k][i + 1] + mod) % mod) * b[i + 1]) % mod) % mod;
	
	ans = (ans * qpow(C(n + m - 2, n - 1), mod - 2)) % mod;
	printf("%lld\n", ans);
 

  

以上是关于Codeforces 722E 组合数学 DP的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

CodeForces1288 C.Two Arrays(dp/组合数学)

Singer House CodeForces - 830D (组合计数,dp)

CodeForces - 285E: Positions in Permutations(DP+组合数+容斥)

Codeforces Round #548 (Div. 2) C dp or 排列组合

Codeforces 918D MADMAX 图上dp 组合游戏

CodeForces - 367E:Sereja and Intervals(组合数&&DP)