GuGuFishtion HDU - 6390 （欧拉函数，容斥）

Posted 2022-09-04 jiaaaaaaaqi

GuGuFishtion

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题意

给出定义\(Gu(a, b) = \frac\phi(ab)\phi(a)\phi(b)\)
求出\(\sum_a=1^m\sum_b=1^nGu(a,b) (mod p)\)

思路

首先对于欧拉函数，我们知道欧拉函数的朴素式子为：\(\phi(n) = n*(1-\frac1p1)*(1-\frac1p2) * ... * (1-\frac1pn)\)，\(pi\) 为 \(n\) 的质因子。
对于任意两个数 \(a,b\)，令 \(g = gcd(a, b)\)

1. 若 \(g != 1\)，令 \(pi\) 为 \(a\) 特有的质因子，\(qi\) 为 \(b\) 特有的质因子，\(ti\) 为\(a,b\) 共有的质因子，那么将 \(Gu(a, b)\) 展开，就可以得到
   \[ \beginaligned Gu(a, b) &= \frac\phi(ab)\phi(a)\phi(b)\ &= \fracab \prod(1-\frac1pi) \prod(1-\frac1ti) \prod(1-\frac1qi) a \prod(1-\frac1pi) \prod(1-\frac1ti) b \prod(1-\frac1qi)\prod(1-\frac1ti) \ &= \frac1\prod(1-\frac1ti) \endaligned \]
   现在我们设 \(x\)，\(x\) 包括了所有的 \(ti\)，那么就有
   \[ \beginaligned Gu(a, b) &= \frac1\prod(1-\frac1ti) \ &= \fracxx\prod(1-\frac1ti) \ &= \fracx\phi(x) \endaligned \]
   \(x\) 也很好知道是多少，其实 \(g\) 就满足同时包括了所有 \(ti\) 的数，所以我们可以设 \(x = g\)，就可以得到 \(Gu(a,b) = \fracg\phi(g)\)。
2. 若 \(g=1\)，此时不存在 \(ti\)，但这是 \(Gu(a, b)\) 展开后全部消掉了，所以答案为 \(1\)，而 \(\frac1\phi(1)\) 也正好为 \(1\)，所以也可以看成 \(Gu(a,b) = \fracg\phi(g)\)。

综合上述，\(Gu(a,b) = \fracg\phi(g)\)。
此时我们只要计算出 \(gcd(a, b) = x (a\in [1,m], b\in[1,n])\) 的对数，就可以直接计算答案了。
这里可以利用经典的莫比乌斯反演，也可以利用容斥原理。
令：
\(f(i)\) 表示 \(gcd\) 等于 \(i的倍数\) 的对数
\(g(i)\) 表示 \(gcd\) 等于 \(i\) 的对数
那么就有
\[ f(i) = \lfloor\fracmi\rfloor \lfloor\fracni \rfloor \g(i) = f(i) - \sum_j=2^i*j<=min(n,m) g(ij) \]
如此倒着计算 \(g(i)\)，就可以得出答案。

Hint

emmmm，这题其实有点卡常，要注意取模的次数和自然数逆元打标的姿势。

/*************************************************************** 
    > File Name    : a.cpp
    > Author       : Jiaaaaaaaqi
    > Created Time : 2019年08月26日 星期一 16时58分58秒
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#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cfloat>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#define  lowbit(x)  x & (-x)
#define  mes(a, b)  memset(a, b, sizeof a)
#define  fi         first
#define  se         second
#define  pb         push_back
#define  pii        pair<int, int>

typedef unsigned long long int ull;
typedef long long int ll;
const int    maxn = 1e6 + 10;
const int    maxm = 1e5 + 10;
const ll     mod  = 1e9 + 7;
const ll     INF  = 1e18 + 100;
const int    inf  = 0x3f3f3f3f;
const double pi   = acos(-1.0);
const double eps  = 1e-8;
using namespace std;

ll n, m;
int cas, tol, T;

int pri[maxn], phi[maxn];
bool ispri[maxn];
ll f[maxn], g[maxn], inv[maxn];

void handle() 
    int mx = 1e6;
    mes(ispri, 1);
    tol = 0;
    phi[1] = 1;
    for(int i=2; i<=mx; i++) 
        if(ispri[i]) 
            pri[++tol] = i;
            phi[i] = i-1;
        
        for(int j=1; j<=tol&&i*pri[j]<=mx; j++) 
            ispri[i*pri[j]] = 0;
            if(i%pri[j] == 0) 
                phi[i*pri[j]] = phi[i]*pri[j];
                break;
             else 
                phi[i*pri[j]] = phi[i]*(pri[j]-1);
            
        
    


int main() 
    // freopen("in", "r", stdin);
    handle();
    inv[1] = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) 
        ll p;
        scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &p);
        ll x = min(n, m);
        for(int i=2; i<=x; i++) inv[i] = (p-p/i)*inv[p%i]%p;
        for(int i=1; i<=x; i++) f[i] = (n/i)*(m/i)%p;
        for(int i=x; i>=1; i--) 
            g[i] = f[i];
            for(int j=2; i*j<=x; j++) 
                g[i] -= g[i*j];
                if(g[i]<0)  g[i]+=p;
            
        
        ll ans = 0;
        for(int i=1; i<=x; i++) 
            ans += 1ll*g[i]*i%p * inv[phi[i]]%p;
            ans %= p;
        
        printf("%lld\n", ans);
    
    return 0;