施托尔茨定理

Posted 2022-09-04 asika3912333

定理描述：

　　若

1. $y_n+1>y_n   (n=1,2,\cdots)$
2. $\lim\limits_n\rightarrow\inftyy_n=+\infty$
3. $\lim\limits_n\rightarrow\infty\fracx_n+1-x_ny_n+1-y_n$存在

则 $\lim\limits_n\rightarrow\infty\fracx_ny_n=\lim\limits_n\rightarrow\infty\fracx_n+1-x_ny_n+1-y_n$

证：假定$\lim\limits_n\rightarrow\infty\fracx_n+1-x_ny_n+1-y_n=a$由此，并注意到$y_n\rightarrow +\infty$，可知，对于任给的$\varepsilon >0$，存在正整数N，使当n>N时恒有

　　$\mid \fracx_n+1-x_ny_n+1-y_n-a\mid <\frac\varepsilon2 （且y_n>0）$

于是，分数（当n>N时）

　　$\fracx_N+2-x_N+1y_N+2-y_N+1,\fracx_N+3-x_N+2y_N+3-y_N+2\cdots ,\fracx_n-x_n-1y_n-y_n-1,\fracx_n+1-x_ny_n+1-y_n$

都包含在$(a-\frac\varepsilon2,a+\frac\varepsilon2)$之间（由极限的定义可直接得出），因为$y_n+1>y_n$，所以这些分数的分母都是正数，于是，得

　　$(a-\frac\varepsilon2)(y_N+2-y_N+1)<x_N+2-x_N+1<(a+\frac\varepsilon2)(y_N+2-y_N+1)$，
　　$(a-\frac\varepsilon2)(y_N+3-y_N+2)<x_N+3-x_N+2<(a+\frac\varepsilon2)(y_N+3-y_N+2)$，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\vdots$
　　$(a-\frac\varepsilon2)(y_n+1-y_n)<x_n+1-x_n<(a+\frac\varepsilon2)(y_n+1-y_n)$，

相加之，得

　　$(a-\frac\varepsilon2)(y_n+1-y_N+1)<x_n+1-x_N+1<(a+\frac\varepsilon2)(y_n+1-y_N+1)$

即$a-\frac\varepsilon2<\fracx_n+1-x_N+1y_n+1-y_N+1<a+\frac\varepsilon2$，所以当n>N时，恒有$\mid \fracx_n+1-x_N+1y_n+1-y_N+1-a\mid <\frac\varepsilon2$(注意N是确定的).另外我们有(当n>N时)

　　$\fracx_ny_n-a=\fracx_N+1-ay_N+1y_n+(1-\fracy_N+1y_n)(\fracx_n+1-x_N+1y_n+1-y_N+1-a)$,

　　故$\mid \fracx_ny_n-a\mid \leq\mid \fracx_N+1-ay_N+1y_n\mid +\frac\varepsilon2$,

现取正整数N‘>N，使当n>N‘时，恒有

　　$\mid \fracx_N+1-ay_N+1y_n\mid <\frac\varepsilon2$,

于是，当n>N‘时，恒有$\mid \fracx_ny_n-a\mid <\varepsilon$.

由此可知，$\lim\limits_n\rightarrow \infty\fracx_ny_n=a=\lim\limits_n\rightarrow\infty\fracx_n+1-x_ny_n+1-y_n$.证毕.

注:条件3中换为$\lim\limits_n\rightarrow\infty\fracx_n+1-x_ny_n+1-y_n=+\infty(或-\infty)$.，则结论任然成立（也就是极限都不存在）