从正则表达式到 NFA 到 DFA 到最简 DFA (结束)

Posted 2022-08-31 metatronwings

从正则表达式到 NFA 到 DFA 到最简 DFA (三)

DFA $ \\rightarrow $ 最简 DFA (Hopcroft 算法)

这是一个基于等价类的算法。

split(S)
    foreach char c
        if c 能切分 S
            split S into T1, T2, ..., TK

hopcroft()
    split all nodes into N, A(即非接收状态和接收状态)
    while (set is still changing)
        split(N/A)

这里的等价类，通俗来说就是根据某些特征来划分状态。比如某些状态，都是接收状态，就可以被分为一类。某些状态都是非接收状态，它们就是一类。然后再看每一类中是否还可以继续被划分，比如某些状态经过一次转移可以到接收状态，有些状态不可以，那么这两种状态就是不同的，可以继续分类。

例1

按照接收状态非接收状态划分，q0 单独一类，q1 q2 q3 是一类。因为 b 和 c 无法区分 q1 q2 q3 中的状态，所以这一个集合（q1, q2, q3）收缩成 q4。

例2

首先，q0, q1, q2, q4 → N，q3, q5 → A。

然后在 N 上看各个状态接收字符 e 之后的转移，q2 和 q4 都可以转移到 A 集合中，而 q0 和 q1 不行，所以再次分类：q2, q4 → N1，q0, q1 → N2。

在 N1 和 A 上看各个状态接收各个字符后的转移，发现无法继续划分，所以这就是一个最简状态集了。

在 N2 上看各个状态接收各个字符后的转移，发现接收字符 e 时，q1 可以转移到 N1，而 q0 不行。所以再次划分 N1：q1 → N21，q0 → N22。

再看各个状态集，都不可以被继续划分了。此时到达最简 DFA。