yzoj P2349 取数 题解

Posted 2022-08-31 donkey2603089141

题意

1到n个自然数中选k个自然数要求两两不相邻，问有多少种方法，模m

eg（1 3 5 ）

又是一道打表规律题，正常解法dp可以通过前缀和优化到O(N* K)。另外我们可以重新定义F[I,J]表示从1到I中选择J个不连续数的方案数。通过考虑I选还是不选来进行状态转移。

1.如果不选I：则方案数为F[I-1,J];

2.如果选I:由于不能选相邻两个数，所以I-1不能选，则剩余的J-1个数只能在1到I-2中选，即F[I-2,J-1];

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-2][j-1] (j>1)

f[i][j]=1 (j==1) 边界条件

然而这样写只有70分

考虑找规律

过打表可以发现规律，当然我们也可以这样来考虑，为了保证所选K个数不连续，我们可以考虑先从N-(K-1)个数中选择K个数出来，这样选出来的是不能保证不连续的，但我们可以把该方案调整成合法方案，只要把第I(1<=I<=K)个数每个数加I-1，这样每个方案就一一对应于一个合法方案。所以答案为C(N-K+1,K)。如题目中样例，我们可以认为是C(4,3),从1到4中选3个数的方案跟从1到6中选3个不连续的方案是一一对应的，用上面的方法得到以下对应关系：

（1，2，3）<-> (1,3,5)

（1，2，4）<-> (1,3,6)

（1，3，4）<-> (1,4,6)

（2，3，4）<-> (2,4,6)

注意85%的数据N<=1000000,M=1000003，根据上面分析,答案Ans=(N-K+1)* (N-K) * ...* (N-2 * K+2)/(K * (K-1) ... 1 )mod M，我们可以先把分子即(N-K+1) * (N-K) * ...* (N-2* K+2)mod M的值计算出来记为a，同样把分母即K(K-1) ...* 1 mod M的值计算出来记为b，由于这里M=1000003是一个素数，所以Ans的答案是唯一的。我们可以枚举Ans再判断Ans* b mod M=a是否成立即可。时间复杂度为O(N+M)，预计得分85分。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a=1,b=1,n,k,m;
int main()
    scanf("%lld %lld %lld",&n,&k,&m);
    for(int i=1;i<=k;++i)
        a=a*(n-2*k+i+1)%m;
        b=(b*i)%m;
    
    for(int ans=1;ans<m;++ans)
        if(((ans*b)%m)==a)
            printf("%d",ans);
            return 0;
        
    
    return 0;

正解

计算C(N-K+1,K)mod M,跟方法三同样先计算出分子分母对M的余数a和b，根据x=(x/y)* y可知：a=(Ans* b)mod m，再转化成Ans* b+m* P=a，其中b,m和a为已知，并且m为素数，这样就变成我们熟悉的a* x+b* y=c，用扩展GCD来求。时间复杂度为O(N)。预计得分：100分。