HDU4747：Mex（线段树区间修改）

Posted 2022-08-30 heyuhhh

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题意：
给出\(n\)个数，然后求\(\sum_i=1^n\sum_j=i^nmex(i,j)\)。\(mex(i,j)\)表示区间\([i,j]\)的\(mex\)。

思路：

• 考虑枚举左右端点的其中一个，然后快速统计答案。
• 观察发现对于一个\(a_i\)，如果区间左端点从包含它到了不包含的状态，那么其会影响\([i+1,next[a_i]-1]\)这个区间中的\(mex\)值。
• 那么尝试枚举左端点，根据左端点数值快速统计答案。（一开始想的右端点半天出不来啊= ，=）
• 怎么统计呢？
• 观察到左端点固定的话，区间\(mex\)是单调不减的，那么我们就利用这一性质！
• 找到右端点位于\([i+1,next[a_i]-1]\)时，区间\(mex\)大于\(a_i\)的集合，然后区间修改即可。

总的来说，主要还是要分析到一个点对区间\(mex\)的影响，以及区间\(mex\)的单调性。

#include <bits/stdc++.h>
//#define heyuhhh ok
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 200005;
int a[N], b[N];
int n;
bool vis[N];
ll sumv[N << 2], lz[N << 2], maxv[N << 2];
int nxt[N];
void Getmex() 
    map <int, int> mp;
    int j = 0;
    for(int i = 0; i <= n + 1; i++) vis[i] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        if(a[i] <= n) vis[a[i]] = 1;
        while(vis[j]) ++j;
        b[i] = j;
    
    for(int i = n; i >= 1; i--) 
        if(mp.find(a[i]) == mp.end()) nxt[i] = n + 1;
        else nxt[i] = mp[a[i]];
        mp[a[i]] = i;
    

void push_up(int o) 
    sumv[o] = sumv[o << 1] + sumv[o << 1|1];
    maxv[o] = max(maxv[o << 1], maxv[o << 1|1]);

void push_down(int o, int l, int r) 
    if(lz[o] != -1) 
        int mid = (l + r) >> 1;
        lz[o << 1] = lz[o << 1|1] = lz[o];
        sumv[o << 1] = 1ll * (mid - l + 1) * lz[o];
        sumv[o << 1|1] = 1ll * (r - mid) * lz[o];
        maxv[o << 1] = maxv[o << 1|1] = lz[o];
        lz[o] = -1;
    

void build(int o, int l, int r) 
    lz[o] = -1;
    if(l == r) 
        sumv[o] = maxv[o] = b[l];
        return;
    
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(o << 1, l, mid); build(o << 1|1, mid + 1, r);
    push_up(o);

int query_l(int o, int l, int r, int L, int R, int v) 
    if(l == r) return l;
    int mid = (l + r) >> 1;
    push_down(o, l, r);
    int ok = -1;
    if(maxv[o << 1] >= v && L <= mid) ok = query_l(o << 1, l, mid, L, R, v);
    if(ok == -1 && maxv[o << 1|1] >= v && R > mid) ok = query_l(o << 1|1, mid + 1, r, L, R, v);
    return ok;

void update(int o, int l, int r, int L, int R, int v) 
    if(L <= l && r <= R) 
        lz[o] = v;
        sumv[o] = 1ll * (r - l + 1) * v;
        maxv[o] = v;
        return;
    
    push_down(o, l, r);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(L <= mid) update(o << 1, l, mid, L, R, v);
    if(R > mid) update(o << 1|1, mid + 1, r, L, R, v);
    push_up(o);

ll query(int o, int l, int r, int L, int R) 
    if(L <= l && r <= R) 
        return sumv[o];
    
    push_down(o, l, r);
    int mid = (l + r) >> 1;
    ll res = 0;
    if(L <= mid) res += query(o << 1, l, mid, L, R);
    if(R > mid) res += query(o << 1|1, mid + 1, r, L, R);
    return res;


int main() 
    while(cin >> n && n) 
        for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
        Getmex();
        build(1, 1, n);
        ll ans = query(1, 1, n, 1, n);
        for(int i = 1; i < n; i++) 
            int Next = nxt[i] - 1;
            int L = query_l(1, 1, n, i + 1, Next, a[i]);
            if(L != -1) update(1, 1, n, L, Next, a[i]);
            ans += query(1, 1, n, i + 1, n);
        
        cout << ans << '\n';
    
    return 0;