矩阵树定理

Posted 2022-08-29 tian-luo

• 对于一个无向图 G ，它的生成树个数等于其基尔霍夫Kirchhoff矩阵任何一个N-1阶主子式的行列式的绝对值。
• 所谓的N-1阶主子式就是对于一个任意的一个 r ，将矩阵的第 r 行和第 r 列同时删去得到的新矩阵。
• 基尔霍夫Kirchhoff矩阵的一种求法：基尔霍夫Kirchhoff矩阵 K =度数矩阵 D - 邻接矩阵 A。
• 度数矩阵D：是一个 N×N 的矩阵，其中D[i][j]=0(i≠j)，D[i][i]=i号点的度数D。
• 邻接矩阵A：是一个 N×N 的矩阵，其中A[i][i]=0,A[i][j]=A[j][i]=i,j之间的边数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 505;
const long long mod = 1e4+7;

long long det(long long A[N][N],int n)// 0 ~ n-1  求行列式的值

    for (int i = 0; i < n; ++i)
    
        for (int j = 0; j < n; ++j)
        
            A[i][j] = (A[i][j] % mod + mod) % mod;
        
    
    long long tmp = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    
        for (int j = i + 1; j < n; ++j)
        
            while (A[j][i])
            
                long long t = A[i][i] / A[j][i];
                for (int k = i; k < n; ++k)
                
                    A[i][k] = (A[i][k] - t * A[j][k]) % mod;
                
                swap(A[i], A[j]);
                tmp *= -1;
            
        
        if (!A[i][i]) return 0;
        tmp = A[i][i] * tmp % mod;
    
    return (tmp + mod) % mod;


/*
入度矩阵对应的外向树，出度矩阵对应着内向树（都是指向父亲的边的事是出度或者入度）无根树就是两条有向边都加上
有向树必须删掉根所在的那一行和一列，无根树可以任意
然后对于这n−1阶的矩阵求一个行列式就是最小生成树的个数
*/

int main()