GCD和XOR题解

Posted 2022-08-29 zrqlj

由题意

我们要统计1~N中有多少二元组（a，b）满足gcd（a，b) ==a XOR b

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首先有如下性质：

1.a XOR b >= a-b  （a >= b）

证明：(给个简单的证明 OI证明都不严谨的)

在二进制下

  a XOR b ：b某一位的1才对答案有影响，如果a那位为1那就相当于减，为0相当于加

  a 减     b： 同样b的某一为的1才对答案影响，且a的那一位不管是0还是1，都是减

所以 a XOR b 一定 >= a-b

2. a - b >= gcd( a,b )

证明:

设gcd（a，b）=c

则a=c*x1，b=c*x2（x1，x2互质且大于等于1）x1>=x2

a - b = c*(x1 -x2)>= c

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所以a XOR b >= a-b >= gcd（a，b）

而  a  XOR b=gcd（a，b）

所以a XOR b = a - b = gcd (a，b) 

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到这里解法应该就有很多了，我只分享第一次想到的懒

令 gcd（a，b）=d，a=d*x1 ，b=d*x2

由上述等式得x1-x2=1；

所以我们外层枚举d，内层枚举b，（a直接得到），然后判断a XOR b 是否等于 a  - b

代码如下

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int N=3e7;
 4 int c[N+9];//c[i]表示i与1~i-1中共有多少对满足 
 5 void pre()
 6     for(int d=1;d<=N;d++)
 7         for(int b=d;b<=N-d;b+=d)
 8             int a=b+d;
 9             if((a^b)==(a-b))c[a]++;
10         
11     
12     for(int i=1;i<=N;i++)c[i]+=c[i-1];//求出前缀和 
13 
14 void work()
15     int T,n;
16     scanf("%d",&T);
17     for(int i=1;i<=T;i++)
18         scanf("%d",&n);
19         printf("Case %d: %d\n",i,c[n]);
20     
21 
22 int main()
23     pre();
24     work();
25     return 0;
26