[ACM]Link-Cut Tree实现动态树初探

Posted 2022-08-27 mcflurry

动态树问题是指的一类问题，而不是具体指的某一种数据结构。它主要维护一个包含若干有根树的森林，实现对森林的修改和查询等。

实现动态树的数据结构据说主要有4种，Link-Cut Tree是其中的一种。Link-Cut Tree可以看作是所求森林的一个映射，二者的映射关系将在后面讲述。

先说Link-Cut Tree支持的基本操作包含：

1.(access)Link-Cut Tree的核心操作，后面的操作都需要access这个操作的支持。

2.(make)在森林中建立一棵树。

3.(findroot)查询森林中某一棵树的根。

4.(cut)将某个节点从当前的树中分离，也就是一棵树分成两棵树。

5.(link)将2棵根不相同的树合并，也就是把两棵树合并成一棵树。

通过上述基本操作，就能够实现动态树的一些基本问题。需要注意的是，Link-Cut Tree只实现了节点到根的操作，不过我们可以通过修改基本操作实现一些点到点的操作，如求LCA，具体过程会在后文中讲述。

再来说说Link-Cut Tree的数据组织，在说Link-Cut Tree的数据组织之前应该先细说一下Link-Cut Tree的核心操作access(u)，这样有助于理解。

access(u)是访问u节点操作(从u访问到根)，实际上是寻找u节点到根节点的路径。如果只是简单的向上回溯寻根，那么遇到链很长的树时，时间复杂度将会退化成线性。Link-Cut Tree采用伸展树这种数据结构，将向上访问的父节点加入伸展树中