[题目] 4座塔的Hanoi
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经典递推题。
解出 n (1<=n<=12) 个盘子 \(4\) 座塔的Hanoi(汉诺塔)问题最少需多少步?(1到12每个答案分别占一行)
题解
在原Hanoi问题中 \(d[i]\) 表示 3座塔下 \(i\) 个盘子的最小步数。如果你还没有忘记的话:
\[d[i]=d[i-1]*2+1\]
这个式子还是很显然的。
我们设 \(f[i]\) 表示 4座塔下 \(i\) 个盘子的最小步数。 那么有:
\[f[i]=\textmin\f[j]*2+d[i-j]\(1<=j<=i)\]
那我们来仔细康康这个式子,\(f[j]\) 指将 \(j\) 个盘子放在 \(B\) 塔上,剩下的盘子采用 3座塔全部放在 \(D\) 塔上,再把 \(B\) 塔上的 \(j\) 个盘子放在 \(D\) 塔上。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define N 15
using namespace std;
int n;
int f[N],d[N];
int main()
memset(f,0x3f,sizeof(f));
d[1] = f[1] = 1; puts("1");
for(int i=2;i<=12;++i)
d[i] = d[i-1]*2 + 1;
for(int j=1;j<=i;++j)
f[i] = min(f[i],f[j]*2+d[i-j]);
printf("%d\n",f[i]);
return 0;
理解了之后,我们可以来思考一下 \(n\) 个盘子 \(m\) 座塔的做法。
我们设 \(f[i][j]\) 为 \(i\) 座塔 ,\(j\) 个盘子的最少步数,那么有:
\[f[i][j]=\textmin\f[i][k]*2+f[i-1][j-k]\\]
其实原理是一样的。
睡个好觉吧,晚安!
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