二维状压DP经典题

Posted 2022-08-26 rui-roman

炮兵阵地

题目链接

题目大意：在n*m的地图上放置炮兵，每个炮兵的攻击范围是上下左右两格内，有两种不同的地形，山地（用“H” 表示），平原（用“P”表示），只有平原可以布置炮兵，在不冲突的前提下最多可以布置多少炮兵？

这道题非常经典，我们用dp[i] [j] [k]表示第i行在第j种选取状态下，第i-1行在第k种选取状态下前i行最多摆放的炮兵数量。然后我们首先预处理每一行所有的合法状态，以降低时间复杂度。用num[i]表示第i行的合法状态数量，state[i] [j]表示第i行的第j种合法状态是什么，用temp[i]存储第i行的初始状态，用c[i]存储每种合法状态对应的炮兵数量。

可以不处理直接枚举所有状态吗

如果不预先处理合法状态，那么每一行所有的状态可能有2^10 = 1024种，由于炮兵的摆放需要考虑前两行的状态，那么三个循环枚举状态就会达到惊人的时间复杂度，所以预处理很关键！进行预处理我们会发现每一行的合法状态最多60种，这样即使是3个循环复杂度也会很低。

其他细节都在代码里了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans;
int dp[105][65][65];
int num[105],temp[105];
int state[105][65];
int c[1 << 10 + 5];
int count(int x)
    int sum = 0;
    while(x)
        if(x & 1) sum++;
        x >>= 1;
    
    return sum;

int main()
    cin >> n >> m;
    //每行的合法状态最多只有60种!
    // int p = 0;
    // for(int i = 0;i< (1 << 10);i++)
    //     int now = i;
    //     if((now & (now >> 1)) == 0 && (now & (now >> 2)) == 0) p++;
    // 
    // cout << p << endl;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        string s;
        cin >> s;
        for(int j = 0;j < m;j++)
            if(s[j] == 'P') temp[i] += (1 << j);
        
    
    //对第0行特殊处理
    state[0][++num[0]] = 0;
    //预处理合法状态
    for(int i = 0;i < (1 << m);i++)
        for(int j = 1;j <= n;j++)
            int now = i;
            if(!(now & (now >> 1)) && !(now & (now >> 2))
               && (now | temp[j]) == temp[j])
                state[j][++num[j]] = i;
                c[i] = count(i);
            
        
    
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= num[i];j++)
            int now = state[i][j];
            //对第一行特殊处理，防止越界
            if(i == 1) 
                dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1],c[now]);
                continue;
            
            for(int k = 1;k <= num[i - 1];k++)
                int pre = state[i - 1][k];
                if(!(now & pre))
                    for(int l = 1;l <= num[i - 2];l++)
                        int pree = state[i - 2][l];
                        if(!(now & pree) && !(pre & pree))
                            dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k],dp[i - 1][k][l] + c[now]);
                        
                    
                
            
        
    
    for(int i = 1;i <= num[n];i++)
        for(int j = 1;j <= num[n - 1];j++)
            ans = max(ans,dp[n][i][j]);
        
    
    cout << ans << endl;
    return 0;

排兵布阵 HDU4539

题目链接

大意：一个n*m的平原布置士兵。每个士兵可以攻击到并且只能攻击到与之曼哈顿距离为2的位置以及士兵本身所在的位置。当然，一个士兵不能站在另外一个士兵所能攻击到的位置，同时因为地形的原因也不是每一个位置都可以安排士兵。 （输入中1可以布置，0不可以布置）问：最多能安排多少个士兵。

思路和上一题基本一样，换汤不换药.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans;
int state[105],num[170],c[1 << 10 + 5],legal[105][170],dp[105][170][170];
int count1(int x)
    int sum = 0;
    while(x)
        if(x & 1) sum++;
        x >>= 1;
    
    return sum;

bool ok(int now,int row)
    return (now & (now >> 2)) == 0 && (now | state[row]) == state[row];

bool check(int now,int pre)
    return (now & (pre >> 1)) == 0 && (now & (pre << 1)) == 0;

bool recheck(int now,int pree)
    return (now & pree) == 0;

//由于是多组数据，所以每次都要初始化!
void init()
    ans = 0;
    memset(num,0,sizeof(num));
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(state,0,sizeof(state));

int main()

    memset(c,-1,sizeof(c));
    while(~scanf("%d %d",&n,&m))
        init();
        for(int i = 1;i <= n;i++)
            for(int j = 0;j < m;j++)
               int x;
               scanf("%d",&x);
               if(x) state[i] |= (1 << j);
            
        
        //预处理合法状态
        legal[0][++num[0]] = 0;
        for(int i = 0;i < (1 << m);i++)
            for(int j = 1;j <= n;j++)
                if(ok(i,j)) 
                    legal[j][++num[j]] = i;
                    if(c[i] == -1) c[i] = count1(i);
                
            
        
        for(int i = 1;i <= n;i++)
            for(int j = 1;j <= num[i];j++)
                int s1 = legal[i][j];
                if(i == 1) 
                    dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1],c[s1]);
                    continue;
                
                for(int k = 1;k <= num[i - 1];k++)
                    int s2 = legal[i - 1][k];
                    if(check(s1,s2))
                        for(int l = 1;l <= num[i - 2];l++)
                            int s3 = legal[i - 2][l];
                            if(recheck(s1,s3))
                                dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k],dp[i-1][k][l] + c[s1]);
                            
                        
                    
                
            
        
        for(int i = 1;i <= num[n];i++)
            for(int j = 1;j <= num[n - 1];j++)
                ans = max(ans,dp[n][i][j]);
            
        
        printf("%d\n",ans);
    
    return 0;