Manacher's Algorithm 马拉车算法

Posted 2022-08-25 doragd

预处理

每相邻的两个字符间添加一个"#"，使所有偶数长度回文子串变成奇数，转化成求奇数长度的回文子串

因为奇+偶=奇，所以通过添加#统一成奇数
bob    -->    #b#o#b#   回文子串长度为3，处理后为7
noon   -->    #n#o#o#n# 回文子串长度为4，处理后为9

P[i]数组

\(P[i]\)数组：以\(i\)点为中心的回文子串的半径

规律：回文子串的长度为半径减1，起始位置为中间位置-半径再除以2

故只要我们找到最大的半径，就可以找到最大的回文子串

# 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 2 #
1 2 1 2 5 2 1 6 1 2 3 2 1
/*
 
"#2#2#1#2#2#"，以中间的 '1' 为中心的回文串半径是6，未添加#号的回文子串为 "22122"，长度是5
"#b#o#b#"，以中间的 'o' 为中心的回文串的半径是4，而 "bob"的长度是3
"#n#o#o#n#"，以最中间的 '#' 为中心的回文串的半径是5，而 "noon" 的长度是4   

中间的 '1' 在字符串 "#1#2#2#1#2#2#" 中的位置是7，而半径是6，7-6=1，刚好就是回文子串 "22122" 在原串 "122122" 中的起始位置1
"bob"，"o" 在 "#b#o#b#" 中的位置是3，但是半径是4，这一减成负的了，所以我们应该至少把中心位置向后移动一位，才能为0，那么我们就需要在前面增加一个字符，这个字符不能是#号，也不能是s中可能出现的字符，所以我们暂且就用'$'吧，这样都不相同的话就不会改变p值了，那么末尾要不要对应的也添加呢，其实不用的，不用加的原因是字符串的结尾标识为 '\0'，等于默认加过了。
那此时 "o" 在 "$#b#o#b#" 中的位置是4，半径是4，一减就是0了
中间的 '1' 在字符串 "$#1#2#2#1#2#2#" 中的位置是8，而半径是6，这一减就是2了，而我们需要的是1，所以我们要除以2。之前的 "bob" 因为相减已经是0了，除以2还是0，没有问题。
再来验证一下 "noon"，中间的 '#' 在字符串 "$#n#o#o#n#" 中的位置是5，半径也是5，相减并除以2还是0，完美。可以任意试试其他的例子，都是符合这个规律的，最长子串的长度是半径减1，起始位置是中间位置减去半径再除以2。
*/

P[i]数组构造

• i循环的范围是从1到len-1，因为0号字符是$
• 从左到右遍历不断维护两个变量：
  • \(id:\) 遍历到当前位置时，最右边的回文子串的中心位置
  • \(mx:\) 遍历到当前位置时，最右边的回文子串的最右端位置

假如\(i<mx\) ，求出\(i\)关于\(id\)的对称点\(j=i-2(i-id)=2id-i\) ，在\([mx对称点，mx]\)范围内，\(j\) 两端的值和\(i\)两端的值是完全相同的。

• 如果\(mx-i>p[j]\)，也就是并没有超过 \([mx对称点，mx]\)范围。那么根据对称性，有\(p[i]=p[j]=p[2id-i]\)
• 如果\(mx-i<p[j]\)，也就是超过了\([mx对称点，mx]\)范围，那么至少能保证\(mx-i\)部分是相同的。即\(p[i]=mx-i\)
• 故可以综合为\(p[i]=min(p[2id-i],mx-i)\)，对于在mx右边的数，还没进行判断，而后可以while循环进行匹配

否则\(i\gemx\)时，只能以\(i\)为中心，向两边进行枚举，初始值\(p[i]=1\)，然后while循环进行匹配t[i+p[i]]==t[i-p[i]]

模板

string solve(string s)
    //预处理
    string t = "";
    t += "$#";
    for(int i=0;i<s.length();i++)
        t += s[i];
        t += '#';
    
    //构造P数组
    vector<int> p(t.size(),0);
    int mx = 0, id = 0, res_id= 0, res_mx = 0; 
    //求解
    for(int i=1;i<t.size();i++)
        //mx>i: 没超过时，求min(p[2id-i],mx-i)，再向两边匹配
        //i>=mx：超过时，初始化p[i]=1，然后向两边匹配
        p[i] = mx > i ? min(p[2*id-i],mx-i):1;
        //向两边匹配
        while(t[i+p[i]] == t[i-p[i]]) p[i]++;
        //更新mx：最右边的回文串的右端，id：最右边回文串的中心位置
        if(mx<i+p[i]) //i+p[i]是当前回文串的右端
            mx = i+p[i];
            id = i;
        
        //更新res_id：最长的回文串的中心，res_mx：最长的回文串的半径
        if(res_mx < p[i])
            res_id = i;
            rese_mx = p[i];
        
    
    return s.substr((res_mx-res_id)/2, res_mx-1);