网络流总结

Posted 2022-08-24 bluefly-hrbust

网络流题型总结

负载平衡问题：

N个环形排列的点，每个点之间的权值数量不相等，现在可以让每个点G 公司有 n 个沿铁路运输线环形排列的仓库，每个仓库存储的货物数量不等。如何用最少搬运量可以使 n个仓库的库存数量相同。搬运货物时，只能在相邻的仓库之间搬运。

题解：

首先为了让每个点收支达到平衡，我们可以先求出所有货物的数量，进而求得每个点货物数量的平均值。

那么对于当前仓库有两种可能：

1当前仓库的数量是比平均值大的，那么我们知道当前仓库是需要流出w[i]-avg数量的。

2当前仓库的数量是比平均值小的，那么我们知道当前仓库是需要流入avg-w[i]数量的

对于情况1，我们让这个点和汇点建立一个边，流量上限是w[i]-avg，费用为0，代表这个边必须流满。

对于情况2，我们让这个点和源点建立一条边，流量上限是avg-w[i]，费用为0，代表这个边同样必须流满。

现在考虑单点，由于可以在相邻的点之间传递，我们在相邻点之间，建立一条流量上限为INF
,费用为1的边，代表每向这个点流入一个流量，费用为1。

这样跑一个最小费用最大流，就是本题的答案。

 

P4015 运输问题：

W 公司有 m 个仓库和 n个零售商店。第 i个仓库有 ai? 个单位的货物；第 j 个零售商店需要 bj个单位的货物。

货物供需平衡，即n个零售店需要的和m个仓库所拥有的货物相同

从第 i 个仓库运送每单位货物到第 j个零售商店的费用为 C_i,j??? 。

试设计一个将仓库中所有货物运送到零售商店的运输方案，使总运输费用最少

答案要求，两行分别输出最小运输费用和最大运输费用。

解决方法:

最小运输费用，其实计算的话，就是一个模版题。

问题在于计算最大运输费用。

我们还是利用类似负数转逆的思想，我们考虑把所有的单位运输费用全部设置成为负数，同样跑最小费用最大流，那么其实就转变成为最大费用最大流。

建图的话，其实也比较好建立

S连接仓库,流量上限为仓库货物量，费用为0

仓库连接商店，流量上限为INF，费用为c_i,j

商店连接汇点，流量上限为商店需求货物量，费用为0

 

P4014 分配问题

有 n件工作要分配给 n 个人做。第 i个人做第 j件工作产生的效益为 c_i,j。试设计一个将 n件工作分配给 n个人做的分配方案，使产生的总效益最大。两行分别输出最小总效益和最大总效益。每个人只能做一个工件

解决方法：

和运输问题非常类似，但是这里每个物品只能给一个人做。那么我们可以考虑，从源点到每工作一个限制，保证每个工作只能被做一次，同时每个人只能做一个工作。那么我们就从源点连接物品一个流量为1，费用为0的边，而对于每个人，连接汇点，流量上限为1，费用为0，在每个工件和人之间，连接流量为INF，费用为c_i,j的边，跑最小费用最大流以及最大费用最大流。

P3355 骑士共存问题

在一个 n*n个方格的国际象棋棋盘上，马（骑士）可以攻击的棋盘方格如图所示。棋盘上某些方格设置了障碍，骑士不得进入对于给定的 n*n 个方格的国际象棋棋盘和障碍标志，计算棋盘上最多可以放置多少个骑士，使得它们彼此互不攻击。

最大匹配=最小点覆盖
最小路径覆盖=|G|-最大匹配数
最大独立集=点数-最大匹配

证明:

把黑白两种位置看成二分图，黑色肯定不能攻击到黑色，白色也肯定不能攻击到白色。

而一个黑色的点一旦出现，那么周围一些白色的点不能同时存在。

我们考虑给不能同时存在的点连接一条流量为INF，

对于黑色类型的点，每个点由于只能放一个，每个点连接源点，流量为1

对于白色类型的点，每个点连接汇点，流量为1。

我们建立出来的图形，其实就是从s-黑点-白点-t。

我们知道这些点实际上是不能存在的，也就是说这些点所连接的汇点，流量应该为0,即最小割。由最小割=最大流，我们求这个图的最小割，即能保证所有无法同时存在的点，满足条件。

这其实就是二分图的最大独立集问题。

选出最多的点数=原来的点数-最大流

选出最多的点数=原来的点数-最小割

Ans=n*n-m-maxflow