@atcoder - ARC066F@ Contest with Drinks Hard

Posted 2022-08-24 tiw-air-oao

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• @description@
• @solution@
• @accepted code@
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@description@

给定序列 T1, T2, ... TN，你可以从中选择一些 Ti，可以选择 0 个（即不选）。

定义你选择的权值 = （满足 T[L...R] 都被选择的区间 [L, R] 的数量）-（你选择的 Ti 之和），你希望这个权值尽量大。

现在有 M 次询问，每次询问假如将 T[Pi] 修改成 Xi，你所能选出的最大权值。

Constraints
1 <= N, M <= 3*10^5，1 <= Ti <= 10^9 且所有 Ti 总和 <= 10^12。
对于每组询问，满足 1 <= Pi <= N，1 <= Xi <= 10^9。

Input
输入形式如下：
N
T1 T2 … TN
M
P1 X1
P2 X2
:
PM XM

Output
对于每组询问，输出其答案。

Sample Input 1
5
1 1 4 1 1
2
3 2
3 10
Sample Output 1
9
2

@solution@

考虑在修改 T[Pi] 为 Xi 后，最后的选择方案要么包含 Pi 要么不包含。
假如不包含，则只需要在 1 ... Pi - 1 与 Pi + 1 ... N 中选择得到最大值。
假如包含，我们需要预处理包含 Pi 的最优解，然后用这个最优解 + T[Pi] - Xi。

综上，我们需要处理出三个东西：第一个 f[i] 表示从 1 ... i 中选择的最优答案，第二个 g[i] 表示从 i ... N 中选择的最优答案，第三个 h[i] 表示必须选择 i 的最优答案。

先一步步考虑，考虑求 f[i]。要么不选 i 从 f[i-1] 转移过来；要么选择 i，我们枚举一个 j 表示我们强制选择 i + 1 ... j 中的所有数，则贡献为 f[j] + （[i + 1, j] 中的区间数量）-（[i + 1, j] 的 T 值之和）。
通过预处理前缀和 S[i] = T[1] + T[2] + ... T[i]，可以将转移式写得更具体一点：
\[f[i] = \max(f[i-1], \max_0\le j<i(f[j] + S[j] - S[i] + \frac(i-j+1)*(i-j)2))\]

上面那个转移非常斜率优化，稍微变化一下式子发现的确可以斜率优化。这里就不具体写了。
总之，这个式子是个斜率单增且横坐标单增的斜率优化，可以使用单调栈做到 O(n) 的时间复杂度。
而 g[i] 可以类似地处理。这里也不具体谈了。

现在考虑怎么求 h[i]。最暴力的方法是在 i 左边枚举一个左端点 l，i 右边枚举一个右端点 r，算出区间 [l, r] 的贡献再加上 f[l - 1] + g[r + 1]。
考虑优化，我们发现 cdq 分治非常合适（其实我也不知道它该不该叫作cdq分治，只是感觉比较像）。

对于区间 [left, right]，设它的中点为 mid，我们仅考虑满足 left <= l <= mid < r <= right 的区间 [l, r] 对 h[l...r] 的贡献。
然后递归到 [left, mid] 与 [mid + 1, right]，继续处理子问题，直到 left = right。

怎么处理呢？我们先将 [left, mid] 的点加入单调栈；然后从左往右扫 [mid + 1, right] 用斜率优化求出 [mid + 1, right] 内所有点作为右端点的答案；然后再从右往左扫描，扫到 x 时维护出 [x, right] 的最大值 tmp，用这个 tmp 更新 h[x]。
再反过来将 [mid + 1, right] 加入单调栈，更新 [left, mid] 的 h 值。这个过程与上面类似，不再赘述。

@accepted code@

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 300000;
const ll INF = (1LL<<60);
ll f[MAXN + 5], g[MAXN + 5], h[MAXN + 5];
ll S[MAXN + 5], T[MAXN + 5];
ll fk(int i) return i;
ll fx(int j) return 2LL*j;
ll fc(int i) return 1LL*i*i + i - 2*S[i];
ll fy(int j) return 2*S[j] + f[j] - j + 1LL*j*j;
double fslope(int p, int q) return 1.0*(fy(q) - fy(p)) / (fx(q) - fx(p));
ll gk(int i) return -i;
ll gx(int j) return -2LL*j;
ll gc(int i) return 1LL*i*i - i + 2*S[i-1];
ll gy(int j) return -2*S[j-1] + g[j] + j + 1LL*j*j;
double gslope(int p, int q) return 1.0*(gy(q) - gy(p)) / (gx(q) - gx(p));
int stk[MAXN + 5], tp;
int N, M;
void get_dp() 
    f[0] = 0; stk[tp = 1] = 0;
    for(int i=1;i<=N;i++) 
        while( tp > 1 && fk(i) >= fslope(stk[tp], stk[tp-1]) )
            tp--;
        f[i] = max(f[i - 1], fc(i) - fk(i)*fx(stk[tp]) + fy(stk[tp]));
        while( tp > 1 && fslope(i, stk[tp]) >= fslope(stk[tp], stk[tp-1]) )
            tp--;
        stk[++tp] = i;
    
    g[N + 1] = 0; stk[tp = 1] = N + 1;
    for(int i=N;i>=1;i--) 
        while( tp > 1 && gk(i) >= gslope(stk[tp], stk[tp-1]) )
            tp--;
        g[i] = max(g[i + 1], gc(i) - gk(i)*gx(stk[tp]) + gy(stk[tp]));
        while( tp > 1 && gslope(i, stk[tp]) >= gslope(stk[tp], stk[tp-1]) )
            tp--;
        stk[++tp] = i;
    

ll tmp[MAXN + 5];
void divide_conquer(int l, int r) 
    if( l == r ) 
        h[l] = f[l + 1] - 2*T[l] + g[r + 1] + 2;
        return ;
    
    int mid = (l + r) >> 1;
    divide_conquer(l, mid);
    divide_conquer(mid + 1, r);
    stk[tp = 1] = l - 1;
    for(int i=l;i<mid;i++) 
        while( tp > 1 && fk(i) >= fslope(stk[tp], stk[tp-1]) )
            tp--;
        while( tp > 1 && fslope(i, stk[tp]) >= fslope(stk[tp], stk[tp-1]) )
            tp--;
        stk[++tp] = i;
    
    for(int i=mid+1;i<=r;i++) 
        while( tp > 1 && fk(i) >= fslope(stk[tp], stk[tp-1]) )
            tp--;
        tmp[i] = fc(i) - fk(i)*fx(stk[tp]) + fy(stk[tp]) + g[i + 1];
    
    ll p = -INF;
    for(int i=r;i>mid;i--) 
        p = max(p, tmp[i]);
        h[i] = max(h[i], p);
    
    stk[tp = 1] = r + 1;
    for(int i=r;i>mid+1;i--) 
        while( tp > 1 && gk(i) >= gslope(stk[tp], stk[tp-1]) )
            tp--;
        while( tp > 1 && gslope(i, stk[tp]) >= gslope(stk[tp], stk[tp-1]) )
            tp--;
        stk[++tp] = i;
    
    for(int i=mid;i>=l;i--) 
        while( tp > 1 && gk(i) >= gslope(stk[tp], stk[tp-1]) )
            tp--;
        tmp[i] = gc(i) - gk(i)*gx(stk[tp]) + gy(stk[tp]) + f[i - 1];
    
    p = -INF;
    for(int i=l;i<=mid;i++) 
        p = max(p, tmp[i]);
        h[i] = max(h[i], p);
    

int main() 
    scanf("%d", &N);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        scanf("%lld", &T[i]), S[i] = S[i - 1] + T[i];
    get_dp(), divide_conquer(1, N);
    scanf("%d", &M);
    for(int i=1;i<=M;i++) 
        int P, X; scanf("%d%d", &P, &X);
        printf("%lld\n", max(f[P-1] + g[P+1], h[P] + 2*T[P] - 2*X)/2);
    

@details@

h[i] 值是必须要包含 i 的，所以可能为负数，给 h 初始化时应该赋值为 -inf。

话说现在 atcoder 都不办 ARC 了，ARC 已经成为了时代的眼泪。。。