奇异值分解

Posted 2022-08-24 xcxy-boke

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SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。

$A=U \sum V^T$

条件：U和V是一个可酉矩阵（是正交矩阵的复数推广$U^T=U^-1$）

$A^TA$的特征向量是V，$AA^T$的特征向量是U，$AA^T$的特征值的平方根是$\sum$。

证明：

　　$A=U \sum V^T \rightarrow A^T=V \sum^T U^T \rightarrow A^TA=V \sum^T U^T U \sum V^T=V \sum^2 V^T$ 

　　因为U和V是一个可酉矩阵。