最短Hamilton路径

Posted 2022-08-22 baseai

最短Hamilton路径

经典状压DP，以后还是要多练习练习。

题解

设 \(f[i][j]\) 表示 \(i\) 状态 ， 最后一个点落在 \(j\) 点的最短路径。

记住，i是一个状态，是二进制的状态压缩。

那么我们来推推公式，推出来后是这个样子：

\[f[i][j]=\textmin \ f[i\text xor (1<<j)][k]+dis[k][j] \\]

我们设\(k\)是上一个节点，转移到\(j\)节点。

xor是异或 ，i xor (1<<j)表示 i 状态二进制下第 j 位取反。我们当做这个状态下还没有来过 j 节点，现在在k节点

理解了f[ ]数组的意思，我们发现：\(i\) 状态下必须有 \(j\)节点，或者说\(i\)状态的二进制下第 \(j\) 位是1，同理，k也是。 所以我们还要判断一下 \(i\) 状态下是否有 \(j\) , \(i\) 无 \(j\) 的状态下是否有 \(k\)。

说得不好，挂一下代码吧。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 27
#define MAXN 1<<20
using namespace std;
int n;
int dis[N][N],f[MAXN][N];
int main()

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            scanf("%d",&dis[i][j]);
    int maxn = (1<<n)-1;
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[1][1] = 0;    //000...01状态 1号点
    for(int i=2;i<=maxn;++i) 
        for(int j=1;j<=n;++j) if((i>>(j-1)) & 1)
            for(int k=1;k<=n;++k) if((i^(1<<(j-1)))>>(k-1) & 1)
                f[i][j] = min(f[i][j],f[i^(1<<(j-1))][k]+dis[k][j]);
    
    printf("%d\n",f[maxn][n]);
    return 0;