HDU6706 CCPC 2019网络赛 huntian oy 推式子+杜教筛

Posted 2022-08-22 danzh

CCPC 2019 网络赛 HDU 6706 huntian oy

标签

• 奇奇怪怪的数论结论
• 杜教筛

前言

• 我的csdn和博客园是同步的，欢迎来访danzh-博客园~

简明题意

• 给定n,a,b，求：
  \\[\\sum_i=1^n\\sum_j=1^igcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1]\\%(10^9+7)\\]

思路

• 首先有一个结论：
  \\[gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i^gcd(a,b)-j^gcd(a,b)\\]
• 上面的结论对于i,j互质是成立的。关注这题，条件式里就有[gcd(i,j)=1]，所以我们可以直接替换：（由于ab互质，所以指数直接去掉）
  \\[\\sum_i=1^n\\sum_j=1^i(i-j)[gcd(i,j)=1]\\]
• (其实我比赛的时候猜出来gcd那一坨就等于i-j，然后我写了个暴力验证一下，发现有些数不相等，当时情急，就没往这方面想了，好难过)
• 推到这里，就太简单了。接下来我们我们把减法分离开：
  \\[\\sum_i=1^n\\sum_j=1^ii[gcd(i,j)=1]-\\sum_i=1^n\\sum_j=1^ij[gcd(i,j)=1]\\]

• 然后分别求一下这两个式子。第一个式子比较好求，重点是第二个式子。
  \\[\\sum_i=1^n\\sum_j=1^ij[gcd(i,j)=1]=\\frac 12\\sum_i=1^ni\\phi(i)+\\frac[n>=1]2\\]

  这个式子的推导过程放在我的博客《数论公式总结》里面了

• 所以原式就等于
  \\[\\sum_i=1^ni\\phi(i)-\\frac 12\\sum_i=1^ni\\phi(i)+\\frac[n>=1]2=\\frac 12\\left(\\sum_i=1^ni\\phi(i)-1\\right)\\]
• 好了，n<=1e9，暴力去算和式会超时。这里杜教筛。
• 令\\(f(n)=n\\phi(n)\\)，\\(S(n)=\\sum\\limits_i=1^nf(i)\\)。我们杜教筛，构造g：
  \\[S(n)g(1)=\\sum_i=1^n(f*g)(i)-\\sum_i=2^ng(i)S(\\frac ni)\\]
• 现在难点就在于怎么找g函数。找g函数，我们一般先把狄利克雷展开：
  \\[f*g=\\sum_d|nd\\phi(d)*g(\\frac nd)\\]
• 所以很显然了，我们取g=id，卷积就是： \\[f*g=\\sum_d|nn\\phi(d)=n\\sum_d|n\\phi(d)\\]
• 而\\(\\sum\\limits_d|n\\phi(d)=n\\)(这个相当于\\(\\phi*I=id\\),用卷积很好证明)，所以：
  \\[(f*g)(n)=\\sum_d|nn\\phi(d)=n^2\\]
• 所以杜教筛的式子：
  \\[S(n)=\\sum_i=1^ni^2-\\sum_i=2^niS(\\frac ni)\\]
• 然后就能很轻松地杜教筛啦~然而T了...

• 上面的式子如果需要求积性函数的前缀和，那么大家肯定会写一个线性筛。而这里没有，是不是就代表不需要预处理呢？其实还是需要的，要预处理出\\(f(n)=n\\phi(n)\\)的前缀和，才能降低杜教筛的复杂度。

注意事项

• 注意溢出问题

总结

• 杜教筛在分块的那一部分有减法操作，记得那里的减法操作不要写-=，因为那里的减法也要取模...

AC代码

#include<cstdio>
#include<unordered_map>
using namespace std;

const int maxn = 5e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;

int ksm(int a, int b)

    int ans = 1, base = a;
    while (b)
    
        if (b & 1)
            ans = 1ll * ans * base % mod;
        b >>= 1;
        base = 1ll * base * base % mod;
    
    return ans;


int inv6, inv2;

int prime[maxn], phi[maxn], pre[maxn];
bool no_prime[maxn];
int shai(int n)

    int cnt = 0;
    no_prime[1] = phi[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; i++)
    
        if (!no_prime[i])
            prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;

        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++)
        
            no_prime[prime[j] * i] = 1;
            phi[prime[j] * i] = i % prime[j] == 0 ? phi[i] * prime[j] : phi[i] * (prime[j] - 1);
            if (i % prime[j] == 0) break;
        
    

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        pre[i] = (1ll * pre[i - 1] + 1ll * i * phi[i] % mod) % mod;

    return cnt;


unordered_map<int, int> rec;
int S(int n)

    if (n <= maxn - 10) return pre[n];
    if (rec[n]) return rec[n];
    long long ans = 1ll * n * (n + 1) % mod * (2 * n + 1) % mod * inv6 % mod;
    int l = 2, r = n;
    while (l <= n)
    
        r = n / (n / l);
        ans = ((ans - 1ll * (l + r) * (r - l + 1) % mod * inv2 % mod * S(n / l) % mod) % mod + mod) % mod;
        l = r + 1;
    
    return rec[n] = ans;


void solve()

    inv6 = ksm(6, mod - 2);
    inv2 = ksm(2, mod - 2);

    shai(maxn - 10);

    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    
        int n, a, b;
        scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
        printf("%lld\\n", 1ll * (S(n) - 1 + mod) % mod * inv2 % mod);
    


int main()

    solve();
    return 0;